和概率有关的题目——先扔硬币为正面的概率

问题：甲乙两人轮流投硬币,先投出正面的赢。如果甲先扔硬币,那么甲获胜的概率是多少?

解析：
首先，谁先扔出正面谁赢，和“抽签问题”中的谁先抽出谁赢，是有本质区别的。
咱们先看抽签问题。在抽签问题中，比如：假设黑箱中有 2 个大小一样的球,其中一个是红球，一个是白球，甲乙两人依次摸，摸到不放回，摸到红的赢。
若甲先，则甲赢的概率为:1/2；
若乙先，乙赢的概率为 1/2 x 1=1/2，即第一次甲以 1/2 的概率摸到了白色球，然后第二次乙肯定是以 1 的概率摸到红色球。
所以对于抽签问题抽到不放回的，谁先谁后，几率一样。

但此题不同,不妨把甲乙每都仍一次看作一轮
第一轮：
甲赢:1/2
乙赢:1/2 x 1/2=1/4

第二轮：
甲赢:1/2 x 1/2 x 1/2=1/8
乙赢:1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2=1/16

第三轮:
甲赢:1/16 x 1/2=1/32
乙赢:1/32 x 1/2=1/64

其实我们不妨这样看：先只管甲赢,首先甲抛到正是二分之一胜了
, 然后甲抛反面乙也反甲再正就是八分之一,再次甲反乙反甲再反乙再反甲正是三十二分之一.
所以设甲先扔在第 n 轮胜的概率为 Pn，则 Pn 是个无限等比数列，首项是二分之一，公比是四分之一 。
所以，甲赢的概率为此等比数列的所有项的和 Sn,
即 Sn = 1/2+1/8+1/32+1/128+... ，求极限为 2/3。
怎么求极限的，看一下等比数列求和公式：

其中 q = 1/4 < 1，所以要用到上图中第三个公式，很容易求得是 2/3。
所以甲先扔的话赢的概率是 2/3，乙后扔赢的概率是 1/3。