数值分析期末公式总结

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第一章 误差

1. 误差的分类

  • 模型误差:数学模型本身包含的误差;
  • 观测误差:观测结果带来的误差;
  • 数据误差:数据可能由先前的计算等途径得到,从而导致的误差;
  • 截断误差(方法误差):模型的准确解和用数值方法求得的解之差;
  • 舍入误差:计算过程中只能取有限位数字进行运算而引来的误差.

2. 近似计算中需要注意的一些现象

  • 要避免两个相近的数相减;
  • 两个相差很大的数进行运算时,要防止小的那个数被“吃掉”;
  • 要注意计算步骤的简化,减少运算次数;
  • 要避免做被除数的绝对值远远大于除数绝对值的除法;
  • 要选用数值稳定的计算公式.

第二章 插值法与数值微分

1. 线性插值

线性插值就是用直线近似地代替函数 。用两个点( , )和( , )通过两点式来构建直线方程 ,得到的 就是插值函数

= = ,并把 叫做 一次插值基函数 叫做 一次插值基函数.

Lagrange 插值

插值函数 是两个插值基函数 线性组合,其组合系数就是对应点的函数值 ,即:

这种形式的插值函数称为 Lagrange 插值

Newton 插值

把直线用点斜式表示,有:

函数 一阶均方差的定义是:

利用均方差的对称性,可以将点斜式表示为:

这种形式的插值叫做 Newton 插值

2. 二次插值

过三个点 ( , ),( , ) 和 ( , ) 来构造 的插值函数,就是二次插值(该插值函数的次数不高于二次)。

二次 Lagrange 插值

二次拉格朗日插值多项式为 ,其中三个插值基函数分别为:

二次 Newton 插值

二次牛顿插值多项式为:

3. n 次插值

n 次 Lagrange 插值

n 次拉格朗日插值多项式为:

其中插值基函数 为:

还有另一种形式:

其中,

n 次 Newton 插值

n 次牛顿插值多项式需要先构造均差表(差商表)

...
...
... ... ... ... ...
...

其中 n 阶均差,它的表达式为:

利用均差表,可以写出 n 次牛顿插值多项式:

n 次牛顿插值多项式中的所含均差都是均差表中对角线上的项。

4. Hermite 插值

若给定 n+1 个结点和相应的函数值微商值,可以构造 2n+1 次的 Hermite 插值多项式

  • 是不超过 2n+1 次的插值多项式;
  • .

由上述条件可知:

第三章 数据拟合法

1. 正交多项式

Legendre 多项式

Laguerre 多项式

Chebyshev 多项式

第五章 数值积分

1. 梯形求积公式

梯形求积公式就是过 两点做直线 ,用 来代替

2. 抛物线求积公式(Simpson 公式)

区间二等分,过点 三点做抛物线 ,用 来代替 :

3. Newton-Cotes 公式

把区间 作 n 等分,分点为:

过这 n+1 个节点,构造一个 n 次多项式:

其中 ,用 代替被积函数 ,有:

其中 是不依赖于函数 和区间 的常数,叫做 Newton-Cotes 系数,它的值如下表所示:

期末考试只要求掌握到 n=4 的情况即可.

n
1
2
3
4

Newton-Cotes 公式的代数精度

对一个一般求积公式

为一个次数不高于 m 次的代数多项式时,上式等号成立,但当 m+1 次多项式时,上式不能精确成立,说明该求积公式具有 m 次代数精度.

  • 是 n 次多项式,则 ,所以 ,Newton-Cotes 公式代数精度至少为 n.
  • 当 n 为偶数时,Newton-Cotes 公式的代数精度可达到 n+1.

4. 复化梯形公式

将区间 作 n 等分,节点 .对每个小区间 使用梯形求积公式,有:

复化梯形公式 为:

5. 复化抛物线公式

由于抛物线求积公式用到了区间的中点,所以在构造复化抛物线公式时必须将区间 进行 2n 等分,在每个小区间 上使用抛物线求积公式:

于是有:

复化抛物线公式 为:

第六章 解线性代数方程组的直接法

1. LU 分解法

当矩阵 A 的前 n-1 个顺序主子式都不为零时,矩阵 A 可以唯一地分解为两个三角矩阵的乘积:

其中 L 是单位下三角矩阵, U 是上三角矩阵

如何求 LU 分解矩阵

  • 利用初等行变换将矩阵 A 化为上三角矩阵 U
  • 下三角可逆矩阵 P,使得 PA=U,从而有 LU 分解: .

原方程 等价于 ,令 ,有

中解出 ,再将 代入 解出 即可.

2. 向量范数

向量范数

任一向量 ,对应一个非负实数 ,具有下面三个性质:

  • 正定性:对所有的 ,而且 当且仅当 .
  • 齐次性:对所有的 ,有 .
  • 三角不等式:对所有的 ,有: .

则称 为向量 范数.

常见向量范数

常见的向量范数有:

  • 1 范数:
  • 2 范数:
  • 范数:
  • p 范数:

3. 矩阵范数

矩阵范数

设 A 是一个 n n 的实矩阵,按一定规则对应一个非负实数 ,称为矩阵 A 的范数,必须满足以下四个性质:

  • 正定性:对所有的 ,而且 当且仅当 .
  • 齐次性:对所有的 .
  • 三角不等式:对所有的 .
  • 相容性:对所有的 .

常见矩阵范数

常见的矩阵范数有:

  • 1 范数(列和范数):
  • 2 范数: 为矩阵 的最大特征值
  • 范数(行和范数):
  • F 范数:

4. 谱半径

设 n n 阶矩阵 A 的特征值为 ,则称

为矩阵 A 的谱半径.

5. 条件数

条件数

称为矩阵 条件数,记为

当线性方程组的系数矩阵 的条件数 很大时,说明在系数矩阵或右端项产生微小变化时会引起解的巨大变化,则称此方程组是“病态”方程组,否则称方程组为“良态”方程组。

条件数和范数有关,可以在条件数上加下标,对应的范数也应加相同的下标:

其中, 是矩阵 最大最小特征值,故 又称谱条件数

条件数的性质

  • .
  • 单位矩阵、置换矩阵和正交矩阵的谱条件数都为 1.
  • 对任意非零实数 ,有 .

第八章 解线性方程组的迭代法

1. Jacobi 迭代

设有方程组

用矩阵表示为

假设 ,令

方程组可改写成

若令

方程可用矩阵表示为

选取初始向量 ,代入 得到一个新向量 ,再将 代入 ,可以得到 ,依此类推,可得到迭代格式

通过上式的计算,可得到向量序列 ,当 时,若序列 收敛到 就是方程组的解. 以上计算过程过程称为 Jacobi 迭代法,矩阵 B 为 jacobi 迭代法的迭代矩阵

2. Gauss-Seidel 迭代

Gauss-Seidel 迭代法和 Jacobi 迭代法相似,但不同点是:在计算 时,Jacobi 迭代法用 代入迭代公式,而 Gauss-Seidel 迭代法会利用之前已经计算出的结果,用 代入迭代公式进行计算.

其迭代过程为:

迭代过程用矩阵表示为

存在,所以上述迭代格式可表示为

为 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵.

注意

交换方程和未知数的次序都会影响 Gauss-Seidel 迭代法的计算结果,但这种交换对 Jacobi 迭代法没有影响.

3. 迭代法的收敛性判别

定理 1

Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于 1.

定理 2

若迭代矩阵 的范数 ,则 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代一定收敛,但这只是迭代收敛的充分条件(因为 ).

定理 3

若方程组 的系数矩阵 按行严格对角占优按列严格对角占优,即满足条件

则 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法都收敛.

定理 4

若方程组 的系数矩阵 对称正定矩阵,则 Gauss-Seidel 迭代法收敛.

注意

通常判断 Jacobi 或 Gauss-Seidel 迭代法是否收敛,先看方程组的系数矩阵 A 是否按行严格对角占优或按列严格对角占优,若严格对角占优,则收敛;否则,继续判断对应迭代矩阵的谱半径是否小于 1,小于 1 则收敛,否则不收敛.

第十章 非线性方程组及非线性方程组解法

1. 二分法

  • 找出 的根所在区间 ,并计算出端点的函数值 .
  • 计算 在区间中点的值 .
  • ,则停止迭代. 否则,若 异号,则根位于 中,用 代替 ; 若 异号,则根位于 中,用 代替 .
  • 重复上述过程中的第二步和第三步,直到区间缩小到容许误差范围之内.

2. 等步长扫描法

是给定的步长,方程 的有根区间为 ,一般初始时 取 0.1,取 ,若 表明扫描成功;否则令 ,继续上述方法,直到成功. 若 表明扫描失败,将 缩小(一般 按照 10 的倍数进行缩小,从 0.1 到 0.01 再到 0.001 等等),重新开始扫描.

3. 简单迭代法

若给定方程 后,把它改写成等价形式:

再作迭代

简单迭代法敛散性判别

  • ,则简单迭代法收敛.
  • ,则迭代在 处 p 阶收敛.

4. 牛顿法

5. 弦截法

第十一章 常微分方程初值问题的数值解法

1. Euler 方法(显示欧拉法)

2. 向后 Euler 方法(隐式欧拉法)

3. 改进 Euler 方法

4. 梯形公式

注意

  • 使用改进 Euler 方法进行迭代时,需要解隐式方程.
  • 若题中不给出迭代步长 ,则 .

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