请看以下 Go 代码,会返回 0.7
吗?
var num float32
for i := 0; i < 7; i++{
num = num + 0.1
}
fmt.Println(num)
答案可能出人意料,是:0.70000005
也许有人会问,是不是 Go 语言的问题?换其他语言试试?
OK,我们换 JS 试试。
答案依然令人意外。
除此之外,你还可以试试 C、C++、Java、PHP 等其他语言的 float 类型相加,看得到的数据是否精确;
还有,除了语言之外,你还可以在 MySQL 等数据库中试试 float 类型数据的字段叠加,得到的数据是否精确。
我可以先告诉你答案:只要是float类型的数据相加,无论在任何语言、任何数据库、任何中间件中进行加法(减法乘除法)运算,得到的数据,都不会精确。
这是浮点类型的精度丢失现象。(Loss of significance)
要了解产生这个现象的原因,就要先了解计算机是如何定义和表示 float 类型的。
不同于正整数类型的表示方法,float 类型在计算机中的表示略显复杂,遵循的是 IEEE 754标准
。
下面,我们就讲一下 IEEE 754标准
。
我们首先回顾一下整数类型在计算机中的表示。
我们知道:计算机只认识 0 和 1;那么,对于像 6 一样的这种正整数,我们要做十进制到二进制的转换。
即
所以,十进制 6
最终转化为二进制为 110
。
这很好理解,但是,如何表示 6.1
等这类小数呢?
有人说了,可以找个特殊的符号,用来表示小数点 .
,把 6.1
中 6
和 1
隔开;听起来是个不错的办法。其实 IEEE 754
还真就是这么做的,只不过思路略有些复杂,总体思路就是:仿照用”科学计数法”!
我们再回顾一下什么是 科学计数法
。
把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤|a|<10,a不为分数形式,n为整数),这种记数法叫做科学记数法。
也就是:1.360X10^4
这种计数方式。
我们可以仿照科学计数法,来表示浮点数,把二进制数统一表示成 1.0110101 X 2^n
这种形式。
数据层面怎么表示出这种形式呢?根据 IEEE 754
的标准,将数据分为三部分:
从左到右分别表示:符号位(正负数)、指数位和小数位
以单精度浮点数为例,单精度浮点数一共 32 位(双精度 64 位,即平时所说的 double
类型),具体内部表示为:
这里有个地方要特别注意:因为数据最终要表示成 1.0110101 X 2^n
这种形式,整数位在二进制下,永远都是 1
,所以在表示 float 类型的时候,直接把 1
给去掉了,假如有就占据一个 bit 的空间,既然那个 bit 位上永远都是 1,所以干脆去掉了。
那么,具体该如何展示呢?例如小数点后的数字怎么表示?6.1
能否写成 110.1
呢?如果能的话小数点后这个 1 代表什么呢?个数一?那添加几个零的话,能否认为是十、一百、一千?似乎是不可以,因为这样只能满足”视觉效果”,逻辑层面直接说不通。
要明白在小数点后的数字代表除以 2 后的数字,例如二进制下小数点后的第一位 1 代表 1 / 2 等于 0.5
,第二位 1 代表 1/2/2 等于 0.25
,依次类推第三位 1 则代表 0.125
…具体请看下图:
所以,给定一个小数,譬如 0.1
,要想得到对应的二进制数,应该是和小数点左边的计算方式相反:乘以2,记录整数位
0.1 X 2 = 0.2 0
0.2 X 2 = 0.4 0
0.4 X 2 = 0.8 0
0.8 X 2 = 1.6 1
(1.6 - 1 = 0.6)
0.6 X 2 = 1.2 1
(1.2 - 1 = 0.2)
0.2 X 2 = 0.4 0
0.4 X 2 = 0.8 0
0.8 X 2 = 1.6 1
(1.6 - 1 = 0.6)
0.6 X 2 = 1.2 1
(1.2 - 1 = 0.2)
0.2 X 2 = 0.4 0
0.4 X 2 = 0.8 0
0.8 X 2 = 1.6 1
...
// 无限循环下去
所以,0.1
用二进制表示为:0.000110011001100110011...
因此 6.1
用二进制应该表示为:110.000110011001100110011...
用”科学计数法“表示为:1.10000110011001100110011... X 2^2
OK,看来小数位的数可以确定了是 10000110011001100110011
,即去掉整数位 1 后,向后截取的 23 位数(浮点数不精确的本质原因)。
符号位 0 表示正数,1 表示负数,所以可以确定是 6.1
的符号位是 0;现在符号位有了,小数位有了,只剩下指数 2 如的表示了,该如何表示呢?直接在 8 位的空间内转化为 000000010
?
显然不可以,首先,如果指数位用 原码
表示,那么,针对指数位为负的情况,就得加一个符号位去表示,而且还会出现两个零的情况:00000000
和 1000000
,操作起来过程复杂~
有人要问那如果使用补码呢?
如果使用补码,会出现以下情况,请看例子:
例如:1.01 X 2^-1 和 1.11 X 2^3比较大小?
首先对比指数位, -1 和 3,分别转化为二进制数 ``111``和``011``;
如果没有其他逻辑处理,``111``是"7",``011``是"3", 7会小于3吗?
可见使用补码,也不是很方便,于是,引用了另外一种编码方式——-移码。
先说说移码的定义:将每一个数值加上一个偏置常数(Excess / bias),通常,当编码位数为n的时候,bias取 "2^n-1" 或者 "2^n-1 - 1"
承接以上 1.01 X 2^-1 和 1.11 X 2^3 比较大小的例子:
例如:1.01 X 2^-1 和 1.11 X 2^3比较大小?
指数为-1的则表示为 -1 + 4 = 3,二进制表示为:011
指数为3的则表示为 3 + 4 = 7 二进制表示为:111
7 > 3,即 111 > 011 比较完毕
就这样,浮点数”科学计数法“的指数位比较变得简单了,而且,消除了”正零“ 和 ”负零“ 不相同的问题。
因为 :
假设偏移量是:4
则移码表示的0只有:0 + 4 = 4,即“100”
在 IEEE 754
中,指数位移码的偏移量为指数位数的 2^n-1 - 1
,为 127。
所以,回到 6.1
表示的问题上,指数位为:2 + 127 = 129
,二进制表示为:10000001
因此,6.1
在 IEEE 754
单精度浮点数标准的下,表示为:
好了,现在了解了浮点数 IEEE 754
标准的表示方法,知道为何浮点数相加总是不精确了吧?
因为浮点数很多小数在二进制环境下很多都无法完整的表示,只能截取部分数据来近似的表示,两个数相加的话,就是两个近似的数相加的和,如果相加次数足够多,精确度自然也就会越来越低
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