第二周 2 月 27 第 1 堂课 笔记

考试只考原题。

• 教材

  关注理论的教材：a zoe 的群论教材《Group Theory for Physicist in a Nutshell》

  关注材料应用的教材：dresselhaus 的教材

  老师的个人主页参考的教材：高教出版社的 徐

  比较通俗友好的教材：北大出版社的 李新征

• SYMMETRY 对称性：

  举例子，正方形的对称性有三种，正方形比长方形更对称（对称操作数目更多）

  球的对称性是所有三维物体中最高的，对称操作数量是无限多

  确定三维空间中的转轴需要几个独立参数？ 需要 2 个,即经纬度，一个上下倾角 θ(和旋转轴的角度 竖的那个轴)、一个 φ 水平旋转角​

• 是否是群的公理化判断方式：4 条，课堂板书上有

  1。封闭性 AB \in G，for ....

  2。结合律 （A B)C...

  3。单位元存在，单位元就是下面练习中的 1，和任何人相乘都不变

  4。每个元素有逆元...

  4。补充：A 叫左逆，A^{-1}叫右逆​

• 练习：集合{1 ，-1}是群吗？

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• 正三角形的对称群 D_3

  6 个对称操作​​

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  对称操作的乘法表：注意对称阵是固定的

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  有这些特征：每一行每一列都出现且只出现一次 EABCDF，只是顺序不一样

  左陪集：第二行 AEDGBC，表示 A G，G 是整个包含六元素的集合。AG={AE,AA....}

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• 练习：正三角形的 AD 操作=？

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• 当之前的对称轴是不固定，跟着点走时，被称为三阶置换群。(似乎不会考？)​

• 群阶 n ：

  A_i ^n = E。

  当 A_i=A 操作，n=2（因为沿 A 轴对称两次，就能变回 E）。

  当 A_i=D 操作，n=3（因为逆时针旋转 3 次 就能变回 E）。

  当 A_i=F 操作，n=3。

• 循环群 cycle group ：A,A^2,A^3 .... A^n=E

• 循环群一定是 abel 群。但是 abel 群 不一定是循环群

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• 练习：对于有限群，群阶为 2，3，4。它的乘法表可能是？

  实际做法是 穷举，然后用之前提到的四个性质来判断是否合适。

  二阶群、三阶群都各自只有一种。四阶群只有 2 种。

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  下图三阶群就是板书中间那个群 3d720f8bfab9ceba1829234b36ddf2a6 ¹

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  (b)中的 ab 可以被写作 c，下图的 klein 群就是图中最右侧的群 3d720f8bfab9ceba1829234b36ddf2a6 ¹

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  Klein 群有时候也叫 V 群

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