函数的基本概念

函数的基本概念

一、概念定义（核心）

1. 本质定义（从 “对应关系” 切入）

（1）变量描述法（直观理解）

在一个变化过程中，设有两个变量 x 和 y，若对于 x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记为 y=f (x)。其中：

• x 称为自变量（主动变化的量）；
• y 称为因变量（随 x 变化的量）；
• “唯一确定” 是函数的核心特征（区别于 “关系”，如 x²+y²=1 不是函数，因一个 x 对应两个 y）。

（2）集合定义法（严格数学定义）

设非空数集 A、B，若存在一个对应法则 f，使得对任意 x∈A，都有唯一的 y∈B 与之对应，则称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的函数，简记为 y=f (x)。其中：

• A 称为函数的定义域（自变量 x 的取值范围）；
• 所有对应值 y 的集合 {f (x) | x∈A} 称为函数的值域（值域是 B 的子集，即值域 ⊆B）；
• 对应法则 f、定义域 A、值域共同构成函数的 “三要素”，其中定义域和对应法则决定值域（若两函数定义域和对应法则相同，即使符号不同，也是同一函数）。

2. 函数的三要素

• 定义域：自变量 x 的取值范围（需满足 “使函数表达式有意义” 或 “实际问题有意义”）。
• 常见求法：
• ①分式：分母 ≠0；
• ②偶次根式：被开方数 ≥0；
• ③对数：真数 > 0，底数 > 0 且 ≠1；
• ④ 实际问题：符合现实意义（如人数为正整数）。
• 对应法则：确定 x→y 的映射规则（如表达式、图像、表格）。
• 判断依据：若两函数对应法则相同，需满足对任意 x，两函数的 y 值相等（如 f (x)=x 与 g (x)=√x² 对应法则不同，因 x=-1 时 f (-1)=-1，g (-1)=1）。
• 值域：因变量 y 的取值范围（由定义域和对应法则唯一确定）。
• 常见求法：
• ① 配方法（二次函数）；
• ② 单调性法（单调函数值域在端点处取得）；
• ③ 换元法（如 y=x+√(x-1) 设 t=√(x-1)）；
• ④ 图像法（观察函数图像的纵向范围）。

3. 特殊类型的函数

（1）常函数

• 定义：对任意 x∈A，f (x)=c（c 为常数），如 f (x)=5；
• 特征：定义域为 A（需结合表达式，如 f (x)=5 定义域为 R），值域为 {c}，图像为平行于 x 轴的直线。

（2）分段函数

• 定义：定义域被分成若干区间，在不同区间上对应法则不同的函数，例如：当 x≥0 时，f (x)=x+1；当 x<0 时，f (x)=-x-1；
• 特征：① 分段不重叠（定义域区间无交集）；② 整体是一个函数（非多个函数）；③ 求值需 “先看 x 所在区间，再用对应法则”。

（3）复合函数

定义域值域问题

如果一个函数，其内部的函数的值域的范围与外部函数定义域范围不相同，那么，该函数会发生怎样的变化？

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• 定义：由两个函数嵌套构成，设 y=f (u)（外函数）、u=g (x)（内函数），若内函数的值域与外函数的定义域有交集，则 y=f (g (x)) 称为复合函数，如 y=sin (x²)（外函数 y=sin u，内函数 u=x²）；
• 关键：复合函数的定义域由 “内函数定义域” 和 “外函数定义域对 u 的限制” 共同决定（即 u=g (x)∈ 外函数定义域）。

4. 函数的表示方法

• 解析法：用数学表达式表示（如 f (x)=2x+3）。适用场景：便于计算、求导、分析性质（适用于表达式简洁的函数）。
• 列表法：用表格列出 x 与 y 的对应值（如三角函数表）。适用场景：适用于自变量取值有限或离散的函数（如人口统计数据）。
• 图像法：用平面直角坐标系中的曲线表示（x 为横坐标，y 为纵坐标）。适用场景：直观展示函数的增减、奇偶、最值等性质（如二次函数的抛物线图像）。

二、核心性质（函数基本特征）

1. 奇偶性（对称性）

（1）定义（前提：定义域关于原点对称）

• 奇函数：对任意 x∈ 定义域，都有 f (-x)=-f (x)，图像关于原点对称（如 f (x)=x³）；
• 偶函数：对任意 x∈ 定义域，都有 f (-x)=f (x)，图像关于 y 轴对称（如 f (x)=x²）；
• 非奇非偶：定义域不关于原点对称，或定义域对称但不满足上述任一条件（如 f (x)=x+1，定义域 R 对称，但 f (-x)=-x+1≠±f (x)）。

（2）判定步骤

（3）重要性质

• 奇函数在 x=0 处有定义，则 f (0)=0（因 f (-0)=-f (0)⇒f (0)=-f (0)⇒2f (0)=0）；
• 奇函数 × 奇函数 = 偶函数，偶函数 × 偶函数 = 偶函数，奇函数 × 偶函数 = 奇函数（前提：定义域交集非空）；
• 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致（如在 (0,+∞) 递增，则在 (-∞,0) 也递增）；偶函数在对称区间上单调性相反。

2. 周期性（重复性）

（1）定义

若存在非零常数 T，对任意 x∈ 定义域，都有 x+T∈ 定义域且 f (x+T)=f (x)，则称 f (x) 为周期函数，T 称为函数的一个周期。其中：

• 最小正周期：所有正周期中最小的那个（若存在），如 y=sin x 的最小正周期为 2π；
• 常函数是周期函数，但无最小正周期（任意非零常数都是周期）。

（2）常见周期函数与周期

• 正弦函数 sin x：周期（最小正周期）为 2π，示例：sin (x+2π)=sin x；
• 余弦函数 cos x：周期（最小正周期）为 2π，示例：cos (x+2π)=cos x；
• 正切函数 tan x：周期（最小正周期）为 π，示例：tan (x+π)=tan x；
• 周期为 T 的函数：周期为 kT（k∈Z，k≠0），示例：若 f (x+T)=f (x)，则 f (x+2T)=f ((x+T)+T)=f (x+T)=f (x)。

3. 有界性（取值范围限制）

（1）定义

• 上有界：存在常数 M，对任意 x∈A（A⊆ 定义域），都有 f (x)≤M，则称 f (x) 在 A 上有上界，M 为一个上界；
• 下有界：存在常数 m，对任意 x∈A，都有 f (x)≥m，则称 f (x) 在 A 上有下界，m 为一个下界；
• 有界：若 f (x) 在 A 上既有上界又有下界，则称 f (x) 在 A 上有界（等价于：存在常数 K>0，对任意 x∈A，|f (x)|≤K）。

（2）示例

• f (x)=sin x 在 R 上有界（上界 2，下界 - 2，或更精确的上界 1，下界 - 1）；
• f (x)=x 在 R 上无界（当 x→+∞ 时，f (x)→+∞，无上界；x→-∞ 时，f (x)→-∞，无下界）；
• f (x)=1/x 在 [1,2] 上有界（上界 1，下界 0.5），但在 (0,1) 上无界（x→0⁺ 时，f (x)→+∞，无上界）。

4. 三要素的关联性

• 定义域变化 → 对应法则不变 → 值域可能变化（如 f (x)=x²，定义域 R 时值域 [0,+∞)，定义域 [1,2] 时值域 [1,4]）；
• 对应法则变化 → 定义域不变 → 值域一定变化（如 f (x)=x 与 g (x)=x²，定义域 [1,2]，值域分别为 [1,2] 和 [1,4]）；
• 值域变化 → 可能是定义域变化，也可能是对应法则变化（需结合具体情况分析）。

三、实际应用（分场景）

1. 求函数的定义域（基础应用）

示例 1：求 f (x)=√(x-2)/log₂(x-1) 的定义域

分析限制条件：① 分式分母 ≠0：log₂(x-1)≠0→x-1≠1→x≠2；② 偶次根式被开方数 ≥0：x-2≥0→x≥2；③ 对数真数 > 0：x-1>0→x>1。联立不等式：x≥2 且 x≠2 且 x>1→ 定义域为 (2,+∞)。

示例 2：实际问题定义域（矩形面积函数）

问题：用长 20m 的篱笆围矩形菜园，设矩形一边长为 x（m），面积为 S（m²），求 S (x) 的定义域。分析：矩形两边长之和为 10m，另一边长为 10-x，边长需为正数 →x>0 且 10-x>0→ 定义域为 (0,10)。

2. 求函数的值域（高频应用）

示例 1：二次函数值域（配方法）

求 f (x)=x²-4x+3（定义域 R）的值域。步骤：配方 →f (x)=(x-2)²-1；因 (x-2)²≥0，故 (x-2)²-1≥-1→ 值域为 [-1,+∞)。

示例 2：复合函数值域（换元法）

求 f (x)=x+√(x-1) 的值域。步骤：设 t=√(x-1)（t≥0），则 x=t²+1；代入得 f (t)=t²+1+t=t²+t+1；配方 →f (t)=(t+1/2)²+3/4；因 t≥0，函数在 [0,+∞) 递增，故 f (t)≥f (0)=1→ 值域为 [1,+∞)。

3. 判断两函数是否为同一函数（核心应用）

示例：判断下列各组函数是否为同一函数

• 组 1：f (x)=x 与 g (x)=x²/x。分析：f (x) 定义域为 R，g (x) 定义域为 {x | x≠0}→ 定义域不同 → 不是同一函数；
• 组 2：f (x)=|x | 与 g (x)=√x²。分析：f (x) 定义域 R，g (x) 定义域 R（x²≥0 恒成立）；对应法则：对任意 x，√x²=|x|→ 定义域和对应法则相同 → 是同一函数。

4. 利用奇偶性简化计算（性质应用）

示例：已知 f (x) 是奇函数，且 f (3)=2，求 f (-3)；若 f (x) 是偶函数，f (3)=2，求 f (-3)

• 奇函数：f (-3)=-f (3)=-2；
• 偶函数：f (-3)=f (3)=2。

5. 分段函数求值（特殊函数应用）

示例：已知分段函数 f (x)：当 x>0 时，f (x)=2x-1；当 x=0 时，f (x)=0；当 x<0 时，f (x)=-x+2，求 f (2)、f (-1)、f (0)

• f (2)：2>0，用 2x-1→2×2-1=3；
• f (-1)：-1<0，用 - x+2→-(-1)+2=3；
• f (0)：x=0，直接得 0。

四、易错易混淆点（高频陷阱）

1. 忽略定义域判断 “同一函数”

• 错误：认为 “f (x)=x 与 g (x)=√x² 是同一函数”（因 √x²=x）；
• 正解：√x²=|x|，当 x=-1 时，f (-1)=-1，g (-1)=1，对应法则不同；且若 g (x)=x²/x，定义域不同，也不是同一函数 → 判断同一函数需同时满足 “定义域相同” 和 “对应法则相同”。

2. 奇偶性判断忽略 “定义域关于原点对称”

• 错误：判断 f (x)=x²（x∈[1,2]）为偶函数（因 f (-x)=x²=f (x)）；
• 正解：定义域 [1,2] 不关于原点对称（-1∉[1,2]，-2∉[1,2]），不满足奇偶性前提 → 直接判定为非奇非偶。

3. 误将 “周期” 等同于 “最小正周期”

• 错误：认为 “y=sin x 的周期是 2π”（忽略 “最小” 二字）；
• 正解：2π 是 y=sin x 的 “最小正周期”，其所有周期为 2kπ（k∈Z，k≠0），如 4π、-2π 也是周期。

4. 分段函数求值 “选错区间”

• 错误：求分段函数 f (x)（x≥0 时 f (x)=x+1；x<0 时 f (x)=-x）的 f (-2) 时，用 x+1 得 - 2+1=-1；
• 正解：-2<0，需用 x<0 对应的法则 - x→f (-2)=-(-2)=2→ 分段函数求值需 “先定位 x 的区间，再用对应法则”。

5. 混淆 “函数图像” 与 “方程曲线”

• 错误：认为 “x²+y²=1 是函数的图像”；
• 正解：函数图像需满足 “垂直于 x 轴的直线与图像至多有一个交点”（因一个 x 对应唯一 y），而 x²+y²=1 是圆，垂直于 x 轴的直线 x=0 与圆交于 (0,1) 和 (0,-1)，对应两个 y→ 不是函数图像，只是方程曲线。

五、例题解析（覆盖核心考点）

例题 1：求函数定义域（含多种限制条件）

求函数 f (x)=log₂(3-x)/√(x²-1) + 1/x 的定义域。

解题步骤：

1. 列出所有限制条件：① 分式分母 ≠0：√(x²-1)≠0→x²-1≠0→x≠±1；且 x≠0；② 偶次根式被开方数 ≥0：x²-1≥0→(x-1)(x+1)≥0→x≤-1 或 x≥1；③ 对数真数 > 0：3-x>0→x<3；
2. 联立所有条件：由 x≤-1 或 x≥1，结合 x≠±1、x≠0、x<3，得 x<-1 或 1<x<3；
3. 结论：定义域为 (-∞,-1)∪(1,3)。

例题 2：求函数值域（单调性法 + 图像法）

求函数 f (x)=-x²+2x+3 在区间 [0,3] 上的值域。

解题步骤：

1. 分析函数类型与单调性：二次函数 f (x)=-x²+2x+3，开口向下（a=-1<0），对称轴为 x=-b/(2a)=-2/(2×(-1))=1；单调性：在 (-∞,1] 上递增，在 [1,+∞) 上递减；
2. 确定函数在区间 [0,3] 上的单调性：区间 [0,1] 在递增区间内 → 函数递增；区间 [1,3] 在递减区间内 → 函数递减；
3. 求区间端点和顶点的函数值（最值可能在端点或顶点处）：顶点 x=1：f (1)=-(1)²+2×1+3=4（最大值，因开口向下）；左端点 x=0：f (0)=0+0+3=3；右端点 x=3：f (3)=-9+6+3=0；
4. 确定值域：函数在 [0,3] 上的最小值为 0，最大值为 4→ 值域为 [0,4]。

例题 3：判断函数奇偶性（含定义域验证）

判断函数 f (x)=(x³-x²)/(x-1) 的奇偶性。

解题步骤：

1. 第一步：求定义域（奇偶性前提）：分式分母 ≠0→x-1≠0→ 定义域为 {x | x≠1}；
2. 第二步：判断定义域是否关于原点对称：定义域 {x | x≠1} 中，取 x=-1∈ 定义域（-1≠1），但 - x=1∉ 定义域，不满足 “对任意 x∈ 定义域，-x 也 ∈ 定义域”→ 定义域不关于原点对称；
3. 第三步：得出结论：定义域不关于原点对称 → 函数为非奇非偶函数。

例题 4：分段函数与方程求解

已知分段函数 f (x)：x≥0 时 f (x)=x²+1；x<0 时 f (x)=-2x，求方程 f (x)=5 的解。

解题步骤：

1. 分区间讨论（因分段函数在不同区间对应法则不同，方程解需在对应区间内）：① 当 x≥0 时，f (x)=x²+1，方程化为 x²+1=5→x²=4→x=2 或 x=-2；结合区间 x≥0，舍去 x=-2→ 得解 x=2；② 当 x<0 时，f (x)=-2x，方程化为 - 2x=5→x=-5/2=-2.5；结合区间 x<0，-2.5<0→ 得解 x=-2.5；
2. 综合所有解：方程 f (x)=5 的解为 x=2 或 x=-2.5（即 x=2 或 x=-5/2）。

例题 5：利用周期性求值

已知函数 f (x) 是周期为 3 的周期函数，且 f (1)=2，f (2)=-1，求 f (7) 和 f (10) 的值。

解题步骤：

1. 周期函数性质：f (x+3k)=f (x)（k∈Z）；
2. 求 f (7)：7=1+3×2→f (7)=f (1+3×2)=f (1)=2；
3. 求 f (10)：10=1+3×3→f (10)=f (1+3×3)=f (1)=2；（补充：若求 f (8)，8=2+3×2→f (8)=f (2)=-1）；
4. 结论：f (7)=2，f (10)=2。