QFT 期末考试题

1.定域测量的因果律（复标量场）

复标量场的 Lagrangian 为

该系统具有两个自由度 \phi 和 \phi^{\dagger}。对应的动力学方程为

其中，\partial^2=\square=\partial_t^2-\nabla^2，解的形式为

其中，\begin{aligned}p\cdot x=p^{\mu}x_{\mu}=E_pt-\vec p\cdot\vec x\end{aligned}，令 \begin{aligned}\frac{d^3p}{(2\pi)^32E_p}=d{\tilde{p}}\end{aligned}，\phi(x) 的红色部分代表湮灭一个正粒子，蓝色部分代表产生一个反粒子。它们满足动力学方程，带入验证即 \begin{aligned}\partial^2\phi=\int d\tilde{p}(-E_p^2)\Big(\left(a(p)e^{-ipx}+b^{\dagger}(p)e^{ipx}\right)\Big)-\int -|\vec{p}|^2d\tilde{p}\left(a(p)e^{-ip\cdot x}+b^{\dagger}(p)e^{ip\cdot x}\right)\Rightarrow(\partial^2+m^2)\phi=\int d\tilde{p}(m^2+|\vec{p}|^2-E_p^2)\left(a(p)e^{-ipx}+b^{\dagger}(p)e^{ipx}\right)=0\end{aligned} 这是因为满足在壳条件 \begin{aligned}p^2=p^{\mu}p_{\mu}=E_p^2-|\vec{p}|^2=m^2\end{aligned}，同理代入 \phi^{\dagger}(x) 满足第二个运动学方程。

复标量场的量子化条件：复标量场的动量场算符为 \begin{aligned}\pi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{0}\phi)}=\frac{\partial}{\partial(\partial_0\phi)}\big((\partial_{\mu}\phi)^{\dagger}\partial^{\mu}\phi\big)=\partial_{\mu}\phi^{\dagger}\delta^{\mu}_0=\partial_0\phi^{\dagger}\end{aligned},\pi^{\dagger}=\partial_0\phi。等时正则对易关系为 \begin{aligned}[\phi(\vec x,t),\pi(\vec y,t)]=i\delta(\vec x-\vec y)，[\phi^{\dagger}(\vec x,t),\pi^{\dagger}(\vec y,t)]=i\delta(\vec x-\vec y)\end{aligned}。或者在动量空间表示为

其余对易子皆为 \begin{aligned}0\end{aligned}。
对于类空区域 (x-x')^2<0

类似地，还有对易子

这些对易子显然都是 Lorentz 不变的，所以我们进行 boost 变换将其变成等时情况进行计算，以第一个对易子为例，有

其中，|\vec d|=\sqrt{-\Delta x^2}。类似地，剩余两个对易子也为 \begin{aligned}0\end{aligned}。

复标量场具有 U(1) 对称性，即 \begin{aligned}\phi(x)\rightarrow e^{-i\theta}\phi(x),\phi^{\dagger}\rightarrow\phi^{\dagger}(x)e^{i\theta}\end{aligned} 变换下，\mathcal{L}'=\mathcal{L}。该变换下 Lagrangian 具有不变性，\begin{aligned}\mathcal{L}'=(\partial_{\mu}\phi'(x))^{\dagger}(\partial^{\mu}\phi'(x)-m^2\phi'(x)\phi'^{\dagger}(x)=e^{i\theta}e^{-i\theta}(\partial_{\mu}\phi ^{\dagger}(x))(\partial^{\mu}\phi(x))-m^2\phi(x)^{\dagger}\phi(x)=\mathcal{L}\end{aligned}。就称复标量场具有 U(1) 对称性。根据诺特定理，连续对称性对应守恒流 j^{\mu}，考虑无穷小变换，U(1) 变换对应的 Lee 群为 G=\{e^{i\alpha},\alpha\in R\}，则在无穷小变换下 \phi'(x)-\phi(x)=\delta\phi(x)=i\alpha\phi(x)，于是对应的守恒流为

这里最后一步直接将 \alpha 吸收进了 j^{\mu} 中，流守恒方程为 \begin{aligned}\partial_{\mu}j^{\mu}=i\Bigg(\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi^{\dagger}+\phi\partial^2\phi^{\dagger}-\partial_{\mu}\phi^{\dagger}\partial^{\mu}\phi-\phi^{\dagger}\partial^2\phi\Bigg)=i\big(\phi(-m^2\phi^{\dagger})-\phi^{\dagger}(-m^2\phi)\big)=0\end{aligned}。
在类空间隔，任意两个可观察算符都是可对易的 [O,\tilde{O}]=0，这意味着不会有有任何信息超光速传播，保障了因果性。于是，j^{\mu} 的各分量之间是对易的，即

由于类空间隔中，上式涉及的对易子皆为 \begin{aligned}0\end{aligned}，所以

假设有一个只存在正粒子的世界，

这是违背了因果律的，因为

其中的 \delta=\sqrt{-m^2(x-x')^2}>0，类似地，还有

导致在系统的守恒流分量之间相互并不对易，

这意味着局域测量信息传播超光速，所以必须引起反粒子来保护因果律，所以 QFT 是一个好的理论。

2）massive vector field and spinor field theory

massive vector field 的 Lagrangian 为

带入 Lagrange equation​\begin{aligned} \partial_{\nu}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\nu}A_{\mu})}=\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial A_{\mu}} \end{aligned}，其中\begin{aligned} F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu},F^{\dagger}_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A^{\dagger}_{\nu}-\partial_{\nu}A^{\dagger}_{\mu}, \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}=m^2A^{\mu\dagger}, \partial_{\nu}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\nu}A_{\mu})}=\partial_{\nu}\big(-\frac{1}{2}\cdot2F^{\dagger\nu\mu})=-\partial_{\nu}F^{\dagger\nu\mu} \end{aligned}，类似地对\begin{aligned}A^{\dagger}_{\mu}\end{aligned}进行同样的操作，可以得出动力学方程，即

我们将其写成至于\begin{aligned}A\end{aligned}的形式，并写出其分量的形式，\begin{aligned} \partial_{\nu}\big(\partial^{\nu}A^{\mu}-\partial^{\mu}A^{\nu}\big)+m^2A^{\mu}=(m^2+\partial^2)A^{\mu}-\partial^{\mu}(\partial_{\nu}A^{\nu})=0 \end{aligned}，即

spinor field theory 的 Lagrangian 为

同理，可以得出对应的动力学方程为

massive vector field operator 为

其中，\begin{aligned}\xi_{\mu}(p,\lambda)\end{aligned}是极化矢量，其中包含自旋信息。它满足动力学方程，以第一个式子为例，有

原因是因为\begin{aligned}p^2=m^2\end{aligned}。对于\begin{aligned}A^{\dagger}_{\mu}\end{aligned}类似，同样有\begin{aligned} [(\partial^2+m^2)g_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}]A^{\dagger\nu}=0 \end{aligned}。

对于 spinor field operator 为

满足动力学方程

在壳条件要去\begin{aligned}p^2=m^2\end{aligned},(\cancel p-m)u(p,s)=(\cancel p+m)v(p,s)=0,\bar{u}(p,s)(\cancel{p}+m)=\bar{v}(p,s)(\cancel{p}+m)=0，满足动力学方程。

massive vector field operator 的量子化条件为

spinor field 的量子化条件为

其他对易子皆为\begin{aligned} 0\end{aligned}。

\begin{aligned}\end{aligned}​massive vector field Hamlitonian

系统的正则动量为\begin{aligned} \pi^{\mu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0A_{\mu})}=F^{\dagger\mu 0}，\pi^{\dagger\mu}=F^{\mu 0} \end{aligned}。\begin{aligned}\pi^{0}=\pi^{\dagger 0}=0\end{aligned}，所以\begin{aligned}A_0,A^{\dagger}_0\end{aligned}是动力学解耦的，有\begin{aligned}\pi_{i}=E^{\dagger}_i,\pi^{\dagger}_i=E_i\end{aligned}，所以系统的 Hamlitonian 为

其中，\begin{aligned}B_i=\epsilon_{ijk}\partial_jA_k\end{aligned}，可得

所以，该理论描述的是 spin 为\begin{aligned}1\end{aligned}的粒子与反粒子系统。

对于 spinor field，它的正则动量为\begin{aligned}\pi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\psi)}=i\gamma^{+}\end{aligned}，Hamlitonian 为

这里\begin{aligned}\vec{\alpha}=\gamma^0\vec{\gamma},\beta=\gamma^0\end{aligned}，所以系统的 Hamliton 为

所以这是描述自旋为\begin{aligned}\frac{1}{2}\end{aligned}的费米子场。