RSA算法数学原理及其在HTTPS中的应用

本文在阅读不少他人的优秀博文以及查阅HTTPS协议和RSA等相关资料的基础上整理而成，包含了RSA算法的详细原理及其在HTTPS中的应用。RSA作为HTTPS协议中最为核心的加密/解密算法，其原理却很简单，很容易理解。当你读完本文之后，你也会惊叹于RSA算法发明者的奇思妙想。

首先，RSA的密钥越长，就越难破解。目前被破解的最长RSA密钥是768位二进制。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没有人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥及其安全。下面就让我们来认识RSA算法。

##一、互质关系
如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。关于互质关系，有如下结论：

• 1、任意两个质数构成互质关系，如13和61；
• 2、一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，则两者构成互质关系；
• 3、如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，如97和57；
• 4、1和任意一个自然数都是互质关系，比如1和99；
• 5、p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，如57和56；
• 6、p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，如17和15。
  ##二、中国余数定理
  原本RSA算法和中国余数定理没有什么直接的联系，但即将介绍的欧拉函数的证明需要用到中国余数定理，固在这里先行介绍一下。
  中国余数定理：给出$m$个两两互质的整数，且它们的乘积为$P$。假设有一个未知数$M$，如果我们已知$M$分别除以这$m$个数所得的余数，那么在0到$P-1$的范围内，我们可以唯一地确定这个$M$。这个值可以看作是$M$的一个特解。其它所有满足条件的$M$，则正好是那些除以$P$之后余数等于这个特解的数。

从某种角度来说，中国余数定理几乎是显然的。让我们以两个比较小且互质的整数3和4来理解中国余数定理背后的直觉。其中$x\mathrm{mod}y$表示$x$除以$y$的余数。

从表中可以看到，$i\mathrm{mod}3$的值以3位周期在循环，而$i\mathrm{mod}4$则以4为周期在循环。由于3和4是互质的，它们的最小公倍数为12，因而$(i\mathrm{mod}3,i\mathrm{mod}4)$的循环周期是12，不会更短。因此，当$i$从0增加到11时，$(i\mathrm{mod}3,i\mathrm{mod}4)$的值始终没有重复出现。同时，$(i\mathrm{mod}3,i\mathrm{mod}4)$也只有12种不同的取值，即当$i$从0增加到11时，$(i\mathrm{mod}3,i\mathrm{mod}4)$与$i$之间存在一一映射。这就是中国余数定理的内容。

##三、欧拉函数
请思考以下问题：任意给定正整数$n$，请问在小于等于$n$的正整数中，有多少个与$n$构成互质关系？

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以$\phi (n)$表示。在1~8中，与8形成互质关系的是1，3，5，7，所以 $\phi (8)=4$。

$\phi (n)$的计算方法并不复杂，但为了得到最后的公式，我们需要分以下五种情形讨论：

• 第一种情况：

  $n=1$，则$\phi (1)$=1，因为1与任何数（包括自身）构成互质关系。

• 第二种情况：

  若$n$是质数，则$\phi (n)=n-1$。因质数与小于它的每一个数都构成互质关系。

• 第三种情况

  如果$n$是质数的某个次方，即$n=p^k$（$p$为质数，$k$为大于等于1的整数），则$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$。这是因为只有当一个数的因子不包含质数$p$，才能与$n$互质。而因子包含质数$p$的数一共有$p^{k-1}$个（$1\times p，2\times p，\dots ，p^{k-1}\times p$），把它们去除，剩下的就是与$n$互质的数。
  上面的式子还可以写成$\phi (p^k)=p^k(1-\frac{1}{p})$。可以看出，第二种情况是第三种情况中$k=1$的特例。

• 第四种情况

  如果$n$可以分解成两个互质的整数之积，即$n=p_1\cdot p_2$，则$\phi (n)=\phi (p_1\cdot p_2)=\phi (p_1)\cdot \phi (p_2)$，比如$\phi (56)=\phi (8\times 7)=\phi (8)\cdot \phi (7)=4\times 6=24$。

  其实这条结论用“中国余数定理“就很好理解了。简单说下思路：如果$a$与$p_1$互质（$a<p_1$），$b$与$p_2$互质（$b<p_2$），$c$与$p_1{p}_2$互质（$c<p_1{p}_2$），则$c$与数对$(a,b)$是一一对应关系。由于$a$有$\phi (p_1)$种可能，$b$的值有$\phi (p_2)$种可能，则数对$(a,b)$有$\phi (p_1)\phi (p_2)$种可能。而$c$的值有$\phi (p_1)\phi (p_2)$种可能，所以$\phi (n)=\phi (p_1\cdot p_2)=\phi (p_1)\cdot \phi (p_2)$。

  补充说明：我们还可以证明一种更加特殊的情况：如果$n$可以分解为两个质数之积，即$n=p_1\times p_2$（$p_1$