有哪些值得推荐的数学分析教材或者参考书？

Question

有哪些值得推荐的数学分析教材或者参考书？

关注者

1,340

被浏览

1,824,590

51 个回答

推荐教材是一件很困难的事情。这很大程度取决于读者的背景和读书的目的。比如说，「想要短时间内提高考试成绩，防止挂科」跟「想要加深理解数学分析，长远地准备学习其它的数学课程」要看的书就不太一样。对前者，任课老师的讲义/教科书/作业题可能更有用；对后者，要看的书不止一两本「数学分析」，还需要看其它的书。

任何一本教材的难度都是时间的函数。随着时间的增长，持续的学习和经验的增加会让一本很困难的教材变得不那么困难，甚至容易起来。每个人理解能力和速度都不一样。时间T内搞不定的，用1.5T，2T，3T的时间往往就能想清楚，弄明白。

很可惜的是，大学里的学习模式是有课时要求的：学生必须在一个学期内学完规定的若干内容。这一模式使得很多人把学期的开始看做学习一门课程的开始，而把学期的结束看做这门课的彻底结束。学不明白的，直接就放弃了；学得半懂刚能通过考试的，也不愿意重新思考。其实，期末考试的结束往往标志着真正学习的开始。没有考试和时间的压力，可以把很多值得思考却没来得及想的地方细致地搞清楚，想明白。

扯远了。

读过一点数学分析。略提几本，算是给个参考。

国内的中文数分教材有很多受到了前苏联数学教材的影响。李大潜在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》（第一卷第8版）中译本的序里这么写：

从上世纪50年代初起，在当时全面学习苏联的大背景下，国内的高等学校大量采用了翻译过来的苏联数学教材。…… 到了60年代，国内开始编纂出版的大学数学教材逐步代替了原先采用的苏联教材，但还在很大程度上保留着苏联教材的影响。

这就是为什么很多中文教材的结构与菲赫金哥尔茨的结构非常相似的原因之一。典型的例子有华东师范大学的《数学分析》（可以在这两个链接看这套教材的历史：^[1]^[2]）；还有

北京大学出版社张筑生《数学分析新讲》（1990）
高等教育出版社常庚哲 / 史济怀《数学分析教程》（2003，2012）
高等教育出版社陈纪修 / 於崇华 / 金路《数学分析》（2004）
清华大学出版社徐森林 / 薛春华《数学分析》（2005）
北京大学出版社伍胜健《数学分析》(2009)

如果有时间，在自己使用的教科书以外，可以就某一个主题（例如实数的定义）对比着看不同教材的处理。

北京大学出版社出版的陈天权的《数学分析讲义》（2009）是很有野心（ambitious）的一套教材。在一门数学基础课里，作者「想方设法地在较短的时间内完成更多的教学任务…… 力图按照A. Weil的想法，希望在教学中让同学们学到数学分析语言的、能赶上科学发展需求的语法和词汇。」

这套教材除了基本的一元和多元微积分以外，把点集拓扑，基本测度论和Lebesgue积分，基础泛函分析，复分析，欧氏空间上的微分流形，微分形式等涉及了个遍。从未接触过微积分的读者要短时间看懂非常困难。作者可能有自己的教学考虑，但作为读者，过分用速度来强求自己常常会事倍功半。

俄罗斯的著名教材除了前面提到过的菲赫金哥尔茨，还有卓里奇。两卷书加起来有一千多页，非常厚，除非是课上有老师带着读的指定教材，否则更适合当参考书看。

美国大学的数学分析体系跟我们的不太一样，他们并没有「数学分析」这门课。离数分最接近的课叫Real Analysis 或者Introduction to Analysis，两个学期的课，基本内容是一元微积分和多元微分。这门课通常假设学生学过微积分（可以看成是美国版的「高数」）。欧氏空间里流形上的微积分出现在Calculus 3/4 的计算或者是本科的微分几何里。

在美国最著名的一本教材是Rudin的Principles of Mathematical Analysis。有中译本。很多人叫它「鲁丁宝宝」（baby Rudin）。你可以读MAA的书评^[3]。UC Berkeley 退休教授George Mark Bergman用这本书教实分析的时候写了评论的notes和补充习题，还记录了他回答学生的各种问题^[4]。（Bergman的 undergraduate course materials^[5] 有相当多的内容。要是知乎看累了可以去读读他写的东西。）Roger Cooke写了习题的参考答案^[6]。

Terence Tao 是一位不需要多作介绍的数学家。Tim Gowers 在Tao的一本书的Review里这么写：

Tao’s mathematical knowledge has an extraordinary combination of breadth and depth: he can write confidently and authoritatively on topics as diverse as partial differential equations, analytic number theory, the geometry of 3-manifolds, nonstandard analysis, group theory, model theory, quantum mechanics, probability, ergodic theory, combinatorics, harmonic analysis, image processing, functional analysis, and many others. Some of these are areas to which he has made fundamental contributions. Others are areas that he appears to understand at the deep intuitive level of an expert despite officially not working in those areas. How he does all this, as well as writing papers and books at a prodigious rate, is a complete mystery. It has been said that Hilbert was the last person to know all of mathematics, but it is not easy to find gaps in Tao’s knowledge, and if you do then you may well find that the gaps have been filled a year later.

Tao 的Analysis (I,II) 是Tao在2003年教本科Analysis时的讲义，已经出到第三版，有两个不同的中译本^[7]^[8]。

如果你想知道一个大数学家是怎么教一门本科数学基础课的，
如果你不着急「在短时间内」一知半解地知道很多数学，
如果你想知道在现代数学的框架下微积分的基本概念是怎么从「数数」这个看起来最简单的概念一步一步建立起来的，
如果你经常想问「数学分析到底是什么东西」，
如果你想知道如何通过做习题来理解数学，而不是为了做题而做题，

那就去读这本书吧！

另外，上面提到的Gowers^[9]2014年在教本科分析课时在博客里写了一系列的notes^[10]很值得看。

数分的教材还有很多很多。无论是「名著」还是学校编写的不知名讲义，都不会像武侠小说里写的「学完XXX秘籍就武功天下第一」的。数分里的很多内容，需要学到很多的后续其它分支的内容，回过头来看，才有可能有深刻的理解。

就写这么多。

参考

编辑于 2022-03-15 20:56

Mtuora · Accepted Answer

三大教学体系，美式、苏俄系、法系。

美国哲学是经验主义，反对概念，表象就是本质，具体事例就是理论本身。法国哲学是理性主义，强调公理化和逻辑推导。历史原因，苏俄深受法国哲学影响，偏爱公理与严谨，但社会主义思想的基础是人民化，为了知识的下放与普及，苏俄教学也强调循序渐进的细致引导，理论与应用要全面结合（与美系注意区分）。

需要指出，国内标准的数学分析教材，包括陈纪修、史济怀、华师大等等符合国内数学系教学大纲的通用数分教材，起点是实数和极限，主干是微积分，仅相当于美国的初等微积分，或者菲赫金哥尔茨《数学分析原理》、辛钦《数学分析简明教程》一类的微积分教材。而下面的国外分析教材，除了两三部初等微积分或高数，几乎都是从点集拓扑（一般拓扑学）、线性代数、抽象空间讲起，其中难度最高最为抽象的，是法国Dieudonne现代分析基础，美国Loomis高等微积分，国内仅有清华实验班于品分析讲义，与之相埒。而推荐的美国初等微积分如柯朗等，在应用上仍比国内数分课广泛的多。花点功夫啃完以下名著，再看普通数分教材会有一览众山小的感觉。

初等微积分（极限到多元），推荐柯朗《微积分和数学分析引论》，是一部经典之作，浅显易懂而应用广泛，严谨性略逊。
理工科古典分析，推荐菲赫金哥尔茨《微积分学教程》，与柯朗接近，全面，例题极多，分析基础讲的比较严格，但由于是从实分析上截取的零碎知识，不免有很多省略，与微积分自身发展逻辑脱节，直观性和连贯性略差，初学者不好理解。
标准数学分析，推荐Rudin《数学分析原理》，在美国属于高等微积分的纯分析类型，比Apostol数学分析严谨精致，缺点是应用少，多变量和勒贝格积分讲的不透。
高等微积分，推荐Loomis《高等微积分》，高微最佳教程，重视几何拓扑空间的结合，与Rudin高微风格取向不同，缺点是晦涩。
高等微积分风格的古典数学分析，推荐Zorich《数学分析》，Zorich秉承苏联时代的风格，严谨而充分考虑应用，但从单变量过渡到多变量有点仓促，衔接不够顺滑，多变量基础本身应该自成一课，不能一味遵循单变量同样的授课节奏，把基础压缩成几页几章敷衍过去。
高等数学分析，推荐Dieudonne《现代分析基础》，绝对经典，极其严谨和高端，是以上高等微积分数学分析的祖本。
国内数学分析（高等微积分），于品数学分析讲义，力求结合Courant Rudin Zorich Dieudonne的优秀课程，缺点是讲的比较杂，不如Rudin逻辑清晰。
数学物理方法（国外高数）我另有一贴推荐：https://www.zhihu.com/question/58305986/answer/2962556926

数学基础读物，首推柯朗《数学是什么》，里面材料很多，荟萃了现代数学分支最关心的课题，讨论的深度不可小觑，即便你学过一遍数分，抽代，拓扑，再去读这本著作，仍然觉得奥妙无穷，引人深思。

美国数学分析学习阶段是：

初等微积分——高等微积分或现代分析引论——实分析和复分析——泛函分析。四个阶段。

六十年代，古典分析改革，哈佛教材Loomis《高等微积分Advanced Calculus》前言：“读者应该熟悉……有关基础知识的教科书有柯朗的《微积分》等。本书上半部分讲述了赋范向量空间的微积分，下半部分处理流形上的微积分……感谢迪厄多内的书的总影响”。七十年代，Hoffman《欧几里得空间的分析》作为麻省数学分析原理教程，把数学分析原理的范围扩大到勒贝格积分，实分析与复分析引论，书中提到“在麻省，初等微积分被压缩为一年，进入麻省的许多学生在高中时已读过微积分课程。”书后参考目录，按水平分三组，第一组柯朗微积分，第二组卢丁数学分析原理，第三组柯朗数学物理方法，卢丁的实分析和复分析。

可知，美国初等微积分标准教材是：

柯朗《微积分与数学分析引论》

——这是一部名著。柯朗把他在哥廷根大学历年讲义加以整理，于1927年编写《微积分》德文版，本书对微积分诸多细节论述极为完整，在应用方面也给予广泛的举例，前后连贯性极强，一问世就风靡全球，1932年被翻译成英文。要说明的是，当时分析教程比较不重视公理化，哥廷根版没有把代数拓扑设定为分析基础（虽然也引入线性代数），学完本书就可以接着学《实变函数论》。20世纪60年代现代分析成熟后，哥廷根版就凸显出陈旧，需要进一步学习向量空间和流形的多变量微积分，才能进入实分析课程。为了适应分析学的发展，1965年柯朗对原著进行修订，等第二卷修订时，柯朗已去世，由合作者F.约翰教授最终完成。新版用比较直观的方式导入向量空间、流形、外微分，对多变量微积分做了比较大的修改，成为一部强调直观的通向现代高等微积分（数学分析引论）教材。通常，初等微积分只讲单变量微积分，柯朗著作第二卷多变量、若尔当积分论、单复变、微分方程、变分法等内容已超出大纲，不过本书重在应用，对于大部分理科生来说，本书迄今是完整系统的数分教程。哥廷根版由柯朗独立完成，在结构的完整性和叙述的流畅性上更见精彩，而约翰执笔的新版第二卷风格稍有缺憾。

如果觉得拿柯朗入门繁琐，另外一部更符合现代标准的初等微积分是迈克尔斯皮瓦（M.Spivak）的《Calculus微积分》上下册（有中文版），这是一部名著，2008年已经出到第4版，写法很数学，近似哈代《纯数学教程》，对微积分本质（不是分析基础）的讨论充分透彻，深度难度是托马斯微积分那种文科教材望尘莫及的。本书只讲单变量，多变量要读作者另一部经典杰作《流形上的微积分》。值得注意的是，Spivak本人推荐进一步阅读的分析教材正是哈代和柯朗。
＊Apostol和Loomis也分别撰写有对应各自著名高微教材的初等微积分教材《Calculus》

接下来高等微积分是：卢丁《数学分析原理》（昵称Baby Rudin），陶哲轩《实分析》，或麻省Hoffman《欧几里得空间的分析》这一类著作。布尔巴基之后，高等微积分迎来变革，代数和拓扑成为了数学基础，函数空间成为多元微积分的前几章，比较有代表性的是M.Spivak名著《流形上的微积分》、Loomis《高等微积分》，就多元微积分与拓扑几何流形的结合提供了新颖的观点（这些著作都在卓里奇之前），大多承认接受布尔巴基派迪厄多内《现代分析基础》的影响。就连早于迪厄多内分析基础出版的名著Rudin也参考Dieudonne连夜改版，可见迪厄多内对分析学的重大贡献。国内翻译的陶哲轩《实分析》一书，英文名是《Analysis分析》，深度相当于Rudin《数学分析原理》，比Rudin《实分析与复分析》浅显。

知乎有膜拜抽象的风气，但不建议跳过初等微积分，我们看看Baby Rudin的微分法，没有以速度为实例表示的斜率和导数，直接是定理5.1差商，指数的导数不经计算就给出nx^n-1，很难与高中数学对接。即便数学天赋很好的同学，相信也要经过适当的前置课程，才能确切理解其含义吧。

＊美国有两类课程，都叫高等微积分，一种是面向工程和计算机系的，一种是面向数学物理系的，注意这里说的高等微积分指的是后者。物理系则可以满足于柯朗微积分第二卷的应用型的高等微积分，而数学系则必须进入更抽象的分析。从此阶段，数学系的数分与物理系的微积分分道扬镳。

＊美国数学系高等微积分又分广义和狭义，广义的高等微积分，囊括数学分析原理以及抽象多变量微积分，纯数学分析不怎么顾及物理应用。狭义的高等微积分，指多变量高微，比数学分析原理应用多一些，导入向量空间和流形微分形式等，密切结合几何物理。对应这两类高等微积分课程，美国有两部经典代表作，必须参考：

古典抽象，Rudin数学分析原理

Rudin理论严谨，内容全面，从实数系理论、基础拓扑、抽象空间、一元微积分讲起直到多元微积分和勒贝格积分初步，一环扣一环，结构精巧无比，缺点是每一种都讲的不是很深入和全面，多元篇幅不够，读Rudin需要补充书后的参考读物，比如完整的无穷级数就要去读Knopp的Theory and Application of infinite series.

现代应用，Loomis高等微积分

Loomis重在多元微积分，包括赋范空间和流形的理论和应用，以Courant微积分而不是Rudin为前课，兼顾深度和广度，就多变量而言，为Baby Rudin所不及。其内容分为八个部分，第一二七章线性代数，第三章赋范空间的微分学，第四五章点集拓扑，第六章常微分方程，第八章测度和积分论，第九十十一流形上的微积分，第十二章位势理论，第十三章微分流形重写的经典力学。处理方法非常前卫。

＊数分教辅书

六十年代后的标准高等微积分，体现了抽象代数进入分析的最新成果，也注重分析与几何代数拓扑的密切结合。分析基础所需要的代数拓扑知识，在数学分析教程中讲解很简略。数学分析与实复分析之间，也存在不小的思想跳跃，需要补充与衔接，于是出现一些辅导教材，像剑桥大学宾莫尔《数学分析基础浅导》就是一部优秀参考书，书中对所有与分析相关的基础问题都加以详尽解说，比如Rudin一笔带过的Compact Set紧集，本书却花了两章讲解紧集的特质和意义。

近年美国数学分析课参考书目：

接下来，是分析学的核心与主干，可以列举的标准教材有：

卢丁《实分析与复分析》，阿尔福斯《复分析》，卢丁《泛函分析》，Grafakos《傅里叶分析》两卷。Stein则是一套完整分析学教程。
＊Rudin的Real and Complex Analysis国内昵称Big Rudin，但美国人叫Papa Rudin.

初等微积分，高等微积分，是50年代以后出现的说法。大约同时，将实分析和复分析的基础理论独立出来，设置数学分析课程，作为分析学的导论来讲授，以配合教学的需要。因此，分析学是包括从实数极限到泛函分析的一个完整分支，不要刻意分裂。
各国由于教学设置，有些把初等微积分并入高等微积分来讲，有些高等微积分与实分析一块讲，或者弱化初等微积分，或者弱化高等微积分，总之，加速向抽象分析迈进的步伐。

学完分析学，还需要学习分析应用。柯朗《数学物理方法》这部偏数学的数学物理，是应用的重大成果之一。我记得，是薛定谔1925年初读到柯朗《数学物理方法》第一卷德文版时，突然领悟到量子力学的本质就是书中的希尔伯特空间算符本征值问题，从而写出他的那篇新量子论经典论文。Whittaker的《现代分析教程》作为特殊函数的经典教材，曾是物理系不可或缺的参考书。O.D.Kellogg位势经典著作《Foundations of Potential Theory》。现代则有阿诺尔德的两部名著，《常微分方程》、《经典力学的数学方法》。

柯朗数学物理方法第一卷是量子力学数学的标准教科书，核心内容上是泛函分析的初等谱论，每一章都精彩绝伦，第一章是线性代数教学重大改革，对欧洲尤其英美影响深远。第二卷是偏微分方程，是该课题集大成之作。柯朗《微积分和数学分析引论》实际上是他《数学物理方法》的导论。Dieudonne《现代分析基础》第一卷第十一章初等谱论说道：“本章主题……实际上将利用前面每一章的概念陈述与定理证明，因而读者能确信以前各章的抽象发展并非无目的的推广……关于谱论的更多讯息与关于它的有力的应用，我们着重推荐Courant-Hilbert的经典著作。”（科学出版社中文版）即指这部《数学物理方法》。
Dieudonne1960年原版只有我们今天见到的该书的第一册，第十一章就是该书最后一章，前十章都是为了导出第十一章，说明Courant的数学物理方法，给Dieudonne这部革命性分析学名著提供了基本思路，而Dieudonne造成了全球分析基础的改写潮流。可以说，Courant对一个世纪的分析教学都产生决定性影响。他于1927年撰写的《微积分》给初等微积分教学带来新的风气，而他1924年撰写的《数学物理方法》第I卷，则不仅给新量子论提供了前所未有的工具，更带动了分析学（高等微积分）在1960年后的巨大进步。这样一部经典著作，具有不朽的价值。

数学物理方法参考书，也值得一读。
（1）1946年英国应用数学家Jeffreys教授夫妇合著Methods of mathmatical physics《数学物理方法》，从纯粹数学观点重建数学物理方法的严格性，这是符合现代标准的第一部数学物理方法。

（2）1953年Morse和Feshbach著两卷本Methods of Theoretical Physics《理论物理方法》，近两千页，是数学物理方程的百科大全。

（3）Methods of Modern Mathematical Physics《现代数学物理方法》，by Michael Reed&Barry Simon，4vols. Acadeing Press,Inc. vol I Functional Analysis，vol II Fourier Analysis，vol III Scattering Theory，vol IV Analysis of Operators，1972-1975-1979.Reed is of Department of Mathematics Duke Univer，Simon is of Department of Mathematics and Physics Princeton Univer。几乎是高等分析研究生教程，习题难度极高，数学和物理研究者必备。

Arnold代表几何分析融合的新趋势，这一点与Spivak相似。

现代常微分方程的经典之作。

＊标准常微分方程教材则以Coddington 的Ordinary Differential Equations为圣经。常微分方程的很多细节知识只能在这本经典中找到。作者介绍：Earl Alexander Coddington (1920–1991) was an American mathematician and professor at the University of California, Los Angeles (UCLA) and an author whose textbook on differential equations, written jointly with Norman Levinsonis considered a classic and is used in universities all over the world.

现代力学经典之作。Goldstein经典力学第三版的参考书目，经典力学通论的参考书，只有两部，朗道力学和阿诺尔德这部数学名著，可见其重要性。

数学分析、实分析、复分析、泛函分析的严格性，都建立在扎实的分析基础上。有四部基础著作，分别是豪斯多夫《集合》凯莱《一般拓扑学》兰道《分析基础》Halmos《测度论》，出现在每一部高等分析参考书目中，想在分析学深造的学者，都必须认真学习这四部经典著作。

Landau分析基础电子版分享

Foundations of Analysis_ The Arithmetic of Whole, Rational, Irrational, and Complex Numbers. A Supplement to Textbooks on the Differential and Integral Calculus ( PDFDrive ).pdf

5.5M

·

百度网盘

以上是美国式的课程安排。

法国分析教程

法国数学很强，偏爱抽象和公理化。20世纪初期英国Whittaker，Hardy，法国Goursat，Jordan多卷集分析教程，包括美国Rudin分析原理五十年代第一版，都是古典分析标准。1960年，迪厄多内把布尔巴基精神导入数学分析课程，观点是泛函分析的，命名为《现代分析基础》，与古典分析分道扬镳。这部名著1969年修订后全套八卷，对应于高等微积分到实复泛函分析的阶段，第一二卷是数学分析或分析导论，后几卷是分析学主干。后来的分析教程无不参考Dieudonne，可国内几乎无人推介。

现代分析基础非常现代，阅读它需要很强的抽象思维，比Zorich和Rudin更虐，下面是其中一页。

俄罗斯分析教程

俄罗斯数学系分析课，起步似乎就很难，其实是相当于美国的初等和高等微积分串讲，观点是高等微积分的，但是计算应用也并在一起。在苏联时代就是如此，像菲赫金哥尔茨《微积分学教程》，上来实数理论，戴德金分割，柯西-魏尔斯特拉斯ε--δ语言极限判别，整体略抽象，计算全面，讲解细致，配套习题《吉米多维奇习题集》更是折磨几代人。这种讲法，很考验综合能力，略显枯燥，需要初学者下苦功夫。现代卓里奇撰《数学分析》两卷，介于Courant和Loomis之间，单变量用集合论书写，多变量用到代数函数空间等，也是理论应用并重。菲赫金哥尔茨古典而丰富，学卓里奇的，可拿菲赫金哥尔茨做参考书。苏联时期大数学家辛钦《数学分析简明教程》是一部更为简明、充满讲课艺术的名著，每章末都指定《吉米多维奇》对应的精选题目。加上教改后Nikolsky的分析教程，这就是最出名的四部苏俄数分了。

＊卓里奇《数学分析》对物理的应用以及与其他数学分支的结合非常高端，例题难度高，又很有趣味性，比如序列的极限第一卷73页例9，是计算二进制序列的极限，同类教材不多见。
＊卓里奇的参考书目包括美国三部经典教材：柯朗微积分、Rudin数学分析原理、Spivak流形上的微积分，以及法国Dieudonne，说明各经典教材间有互补性，应该兼收并蓄。
＊卓里奇与Rudin的区别是，卓里奇虽然起点与Rudin差不多，但相对来说，卓里奇没有抛弃初等微积分，对一元变量的讲法本质仍然是传统的，没有删除斜率速度的原始案例，只是比古典方式难度更高。所以，比较性急的同学可以从卓里奇入手。
＊勉强可以把卓里奇看成Courant+Rudin+Loomis的简化版，在美国分成两三个课程的分析讲座，被俄罗斯整合成一体，出现初微起步有点高，高微基础没讲透的缺点。
＊一个错觉，仿佛英美分析找不到类似菲赫金哥尔茨、斯米尔诺夫或卓里奇这样综合性百科全书，实际上是英美把课程拆分细化了，比如初等微积分，就把一元微积分讲的很透。但集合论，一般拓扑，多变量微积分，流形微积分，无穷级数，势论，特殊函数，数学物理，偏微分，分析解题，都各有讲座和专著，覆盖每个细分课程从入门到最前沿。苏俄实行工农兵教育，尽量一部教材包含所有分支，为学生节省师资。

综合评价，美国注重兴趣培养，细分课程，氛围较为轻松，苏俄讲究数学上的严谨，综合性强，氛围更为厚重。但两国都把引导放在首位，讲解细腻，循序渐进。法国数学课起点高，不考虑普通学生的接受能力，上来就公理化和高层次抽象，这种倾向引起阿诺尔德批评，他认为法国数学分析与直观严重脱节。

习题集举要

数学分析教程通常都自带习题，但以下三部习题集，是值得做做的。

苏联吉米多维奇《数学分析习题集》是一部古典分析名著，共四千多道，难度偏高，总结了1960年代以前微积分习题，迄今仍有参考价值。人民教育出的一卷本只有题目和答案，山东教育出版的六卷本有解题过程。

伯克利数学问题集，是当代美国数学系的考研精选真题（在读博士第一年摸底题，伯克利不设硕士），其中数学分析题很多。有英文本。问题集对应的课程为五门：微积分（一元初等到多元高等），古典分析（数学分析），抽象代数，线性代数，复分析。具体到问题，又将上述课程拆分合并，成七大专题：实分析（初等即微积分和古典分析），多元微积分（高等微积分），微分方程，度量空间，复分析，代数（抽象代数），线性代数。书后详列了各门课程的参考教材。

波利亚《数学分析中的问题和定理》，是一部经典名著，与吉米多维奇堪称双璧，但更为高级，是西方世界最著名的习题集。全二卷，Springer有英文版，世界图书出版公司影印过。

分析大致分两个派系，一是重视公理化，一是重视与物理的结合。
哈代的《Pure Mathematics纯数学教程》、Rudin《Principle of Mathematics Analysis数学分析原理、Real And Complex Analysis》、Dieudonne《Foundation of The Modern Analysis现代分析基础》、Cartan《微分学》等是前者。
Whittaker《A Course of Modern Analysis现代分析教程》，Goursat《Course of Mathematical Analysis数学分析教程》 Courant《introduction to Calculate and Analysis微积分与数学分析引论》、Spivak《Analysis of Manifold流形上的微积分》、Loomis《Advance Calculate高等微积分》，菲赫金哥尔茨《微积分学教程》、Zorich《数学分析》，以及于品的数学分析讲义，则是后者。

再聊聊高等数学、数学分析、微积分的区别。

国内的高等数学，相当于简明微积分+线性代数。

苏联斯米尔诺夫《高等数学教程》则相当于《物理系用到的全套数学》，初等微积分+常微分方程+数学分析原理+向量分析+线性代数+泛函分析+数学物理方程+偏微分方程+实分析初阶+复分析初阶。虽是简明教程，却出奇的完整。

斯米尔诺夫《高等数学教程》目录
第一卷，微积分（函数关系和极限，导数概念及应用，积分概念及应用，级数及其在近似计算中的应用，多元函数），复数和高等代数初步与函数的积分法
第二卷，第一分册，常微分方程线性微分方程及微分方程论的补充知识，
第二卷，第二分册，重积分曲线积分反常积分及依赖于参变量的积分，矢量分析及场论，微分几何基础，傅里叶级数，
第二卷，第三分册，数学物理偏微分方程，
第三卷，第一分册，行列式，线性变换与二次型，群论
第三卷，第二分册，复变函数基础，保角变换和平面场，留数理论应用
第三卷，第三分册，多变函数和方阵函数，线性微分方程，特殊函数
第四卷，第一分册，积分方程，変分学
第四卷，第二分册，偏微分方程的一般理论，边值问题
第五卷，第一分册，斯提勒杰斯积分，集合函数与勒贝格积分
第五卷，第二分册，度量空间与赋范空间，希尔伯特空间
简略说，第一卷是初等微积分，第二卷是高等微积分，第三卷是高等代数和数学物理方法（复变和特殊函数），第四卷是积分方程、变分法、偏微分方程和积分论，第五卷是实分析和泛函分析初步。
原书体制庞大，无课后习题，以下两部美苏习题集可用：
（1）苏联波波夫等编《高等数学解题手册》，这一部较为基础，可作为斯米尔诺夫第一到第三卷第二册以前的对应习题，天津科学技术出版社，3元
（2）美国施皮格尔《高等数学的理论与习题》，内容较为高深，适合作为斯米尔诺夫第二卷第一册到第四卷习题，第五卷习题需要另找适用的，上海科学技术出版社，2元
国内习题集有合适的，也可以替代。

斯米尔诺夫这套出过英文版，稀缺，全球买不到。

从工程应用角度，这套高数教材缺了解析几何与张量分析。解析几何中苏教材众多，比较现代的是Postnikov《几何讲义第一学期解析几何》，张量分析以德国Flügge《张量分析与连续介质力学》和Handy Lass《矢量和张量分析》为经典教材，国内黄克智《张量分析》、张若京《张量分析简明教程》清晰明了，讲解透彻。很多物理和力学教科书都有张量的简明介绍，但是不易懂。

柯朗《微积分和数学分析引论》是一部跨界著作，可以作为数学系初等微积分的教材，也可以作为相当于斯米尔诺夫对等的高等数学教程，在某些方面，对分析代数的结合比斯米尔诺夫更现代，篇幅却小了一倍。

1966年迈阿密大学Afken和弗吉尼亚大学Weber出了一部《Essential Mathematical Methods for Physicist》，到1989年Afken、Weber和Harris合撰《Mathematical Methods for Physicist物理学家所用数学方法》，在原书基础上扩充到1200多页。这是一部美国高数经典，讲解通俗易懂，内容极其丰富，2013年出到第7版。全世界的物理学家和工程师，几乎人手一册。

过去，苏联对简化的微积分教程，反而叫数学分析，比如菲赫金哥尔茨《数学分析原理》，辛钦《数学分析简明教程》《数学分析八讲》等，与解体后正好相反。可能是简化的数分教材没那么厚，凸显基础讨论占比更重。

国内受当代俄罗斯影响，歧视微积分，把文科金融专业的数学分析叫《微积分》，正式《数学分析》课程给了数学系的，《高等数学》给了理工科。

归纳一下，数学和物理的分析教程：
物理系数学原则上柯朗微积分+数学物理方法两卷+Whittaker分析教程，足以应付绝大多数情形。
理工科数学，斯米尔诺夫教程是一套全面完整的简明教程，再配合Arfken就足够用。
数学系需要进入更抽象的分析代数拓扑领域，不能忘记公理化分析经典Dieudonne横亘在前方，应用分析经典柯朗数学物理方法是绕不开的绊脚石。卓里奇与Loomis和Spivak都是意义深远的新一代教材。英法美俄教材要互相参考。教师的讲述与你的训练是最重要的，但最终要脱离讲义和教材，建立属于你自己对分析学的完整认知与理论结构。

＊＊＊美系课程次序：

第一类：数学物理方向，Courant《微积分与数学分析引论》→Loomis《高等微积分》→Courant《数学物理方法》和Reed《数学物理》

第二类：几何拓扑方向，Spivak《微积分》→Spivak《流形上的微积分》→Spivak《微分几何综合引论》五卷本

第三类：分析方向，Hardy《A Course of Pure Mathematics》→Rudin《数学分析原理》→Rudin《实分析与复分析》

＊＊＊俄系课程次序：

俄国貌似在高中数学实验班学习辛钦《数学分析简明教程》（或斯米尔诺夫《高等数学教程》前二卷）→数学系本科卓里奇《数学分析》→柯尔莫哥洛夫《函数论与泛函分析初步》、那汤松《实变函数论》→沙巴特《复分析导论》

＊＊＊法系课程次序：

六十年代：Goursat《数学分析教程》→Dieudonne《现代分析基础》

现代：预科班基础微积分→Godement AnalysisI II III.

＊＊＊中系课程次序：

目前以清华于品《数学分析讲义》为代表，于品吸收英法俄教学长处，抽象与计算兼顾。

按：卓里奇与美国第一类课程是同路人，与法系大餐有区别。

几部分析教材提要：

（1）关于Dieudonne《现代分析基础》一书：

1880-1920间，现代分析学教材英法德出版很多部杰作，英国有Whittaker现代分析教程，Hardy纯数学教程，法国Jordan，Picard，Hermite，Goursat都编写了各自的《分析教程》，德国有Caratheodory名著《实变数函数》（当时叫微积分的课程，仍以欧拉教程为样本，不包括19世纪中后期出现严格化运动后的分析基础）。1930年之前，分析课程只分实分析，复分析，傅里叶分析，泛函分析等。1951年，Rudin这一代作者根据课程设计，把数学分析从实分析里抽出来作为分析导论，成为独立课程。1960年，布尔巴基学派代表人物之一Dieudonne迪厄多内名著《分析基础》问世，英文版改名《现代分析基础》，迪厄多内自诩“现代分析”，将此前分析教程打入“古典分析”的行列。由于观念的新颖（比如公理性、滤系代替可数性、不讲黎曼积分将其视为有益的计算训练，将映射视为变量），这部教材一出版，立刻引发全球分析学教程的改写潮流。到1969年，迪厄多内决定扩展和修正该著作，他将《现代分析基础》略加修订，作为新著《分析通论》的第一卷，副标题为《现代分析基础，扩展与修正》，扩展的部分内容，作为《分析通论》的第二卷，副标题也为《扩展与修正》，这两卷可以视为《现代分析基础》初版的增订本独立学习。后六卷包括实分析，复分析，流形微积分，拓扑空间，泛函分析，李群等分析学的大型教程，不再有副标题《现代分析基础》（英文版如此，法文版没见过）。根据原书扉页的预告，原定十卷，现在流传于网上只有八卷，可能没出全。中国八十年代翻译《分析通论》的前两卷，以副标题《现代分析基础》作为书名，但仍叫第一卷第二卷。1960年初版网上没找到电子版。不夸张的说，迄今，分析教学尚未走出Dieudonne代表的布尔巴基时代。Dieudonne现代分析教程对全球分析教学的影响，通过英文版的封底吹嘘上可见一斑。

Dieudonne是伟大的Bourbaki成员，是Bourbaki数学原理的作者之一。数学原理多卷集不包括数学分析，Dieudonne这本著作添补了这个缺憾。除此以外，Dieudonne还与伟大的数学家Grothendieck格罗滕迪克合撰了“代数几何”的八卷本圣经，传播了Grothendieck完成的概型理论代数几何。

（2）清华于品数学分析讲义罗列了主要参考书：

柯朗，F约翰，《微积分与数学分析引论》

法国Ramis等，《基础分析拓扑学》、《微分方程》

Rudin，数学分析原理

卓里奇，数学分析

陈天权，数学分析讲义

常庚哲，史济怀，数学分析教程

讲义的部分课题和习题选自这些教材。

并对经典教材的意义和数学分析的学习方法做了介绍，大致意思是：柯朗，菲赫金哥尔茨，卓里奇的教程，以及法国古典分析，都将分析几何相交叉，而与物理应用密切结合，Rudin等教程则重在论述严谨，细节清晰，都值得参考。学生要勤于笔记，建立属于个体认知的分析学体系，不依附于任何教程。还强调指出，数学是一个有机整体，不要由于课程设置，而把不同数学分支割裂开来，不要故步自封以为不学完前课就不能研习更高深的课题，不要把学习的阶段性当成数学发展史的阶段性。

于品这本讲义，有以下几大优点：

1.严格与应用结合；

2.讲解清晰透彻；

3.一部真正电子书教材，充分利用电子书特点，为分析教学带来重大改进；

4.不拘泥于既定的分析课程大纲，基础和高等课题，常常信手拈来结合一起讲。

（3）经典分析教程至今有生命力，以下五部古典分析仍值得参考：

Whittaker和Wason，现代分析教程

Goursat，数学分析教程

Hardy，纯数学教程

Caratheodory，实变数函数论

Titchmarsh，函数论

（4）二十世纪后半叶被列为主要参考书目的数分教材，是以下七部：

Courant，微积分和数学分析引论

菲赫金哥尔茨，微积分学教程

Rudin，数学分析原理

Loomis，高等微积分

Spivak，流形上的微积分

Dieudonne，现代分析基础（第一二卷）

Zorich，数学分析

这七部著作都应该放在案头经常参考。

值得一提的是，Spivak《流形上的微积分》实际上是他五卷本著作Spivak《A comprehensive introduction of Differential Geometry.5Vols.3rd ed微分几何综合概论》第一卷的简述本。这部分析/几何不朽名著，也是数学物理杰作。有电子版，不忙的时候可以看看。

（5）线性代数参考书

分析学与线性代数紧密相关，以下三部代数学推荐：

K.Hoffman，Linear Algebra.

W.Greub，Linear Algebra.

Axler，Linear Algebra Done Right.