奇妙的素数（1） ——素数定理

素数的作用很大，我们生活中息息相关，素数的谜团也很大，一直期待人们完全揭开。

网络中不但有很多“民科”物理学家，“民科”化学家，也活跃着很多“民科”数学家，当然这里指的“民科”是那些没有经过正规的专业知识培养，全凭三分钟热血，就脑洞大开的胡思乱想的人士。

素数又被称为质数，就是大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。比如2=1×2；5=1×5；23=1×23；……所以2、5和23就是素数。但6=1×6=2×3，即6除了1和自身6外还有其他因数2和3；8=1×8=2×4，所以8也不是素数。依此定义2，3，5，7，11，13，17，19……都是素数。

（1）素数的定义

素数又被称为质数，就是大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。比如2=1×2；5=1×5；23=1×23；……所以2、5和23就是素数。但6=1×6=2×3，即6除了1和自身6外还有其他因数2和3；8=1×8=2×4，所以8也不是素数。依此定义2，3，5，7，11，13，17，19……都是素数。

那素数有没有尽头呢？就是有没有一个最大素数存在呢？欧几里得（公元前330年~公元前275年，古希腊人，数学家）在他的经典著作《几何原本》里就给出了一个很巧妙的反证法证明（不想看可以略过）：

（假设素数是有限的，总共只有n个，最大的一个素数是p，设Q为所有素数之积加上1，即Q=（2×3×5×…×p
）+1，显然Q比p大，按照假设则Q不是素数，那Q就应该有除了1和自身之外的其他因数，或者说成可以被2、3、…、p中的某一数整除，而Q不管被这2、3、…、p中哪一个数整除都会余1，这又说明Q不能被2、3、…、p整除，互相矛盾．所以素数是无限的．）

既然素数是有无穷多个，那下一个问题就是数学家想弄明白的，素数的分布是否有规律呢？通过计算可以知道素数越大就会越稀少，就是顺着自然数数下去，当数越来越大时，素数出现的机会越来越稀少，可能连续出现两个三个的，然后很久都不会出现，但最后总是会出现。感觉看起来毫无规律可言，所以以前的数学家估计对素数的规律是充满了绝望。

图中是把从1开始的自然数螺旋排列，标记出的就是素数，这个图越往外，数越大，素数出现的越稀疏。

（2）费马数

正是因为素数的出现毫无规律可言，所以历史上关于素数的猜想也是很多，有正确的，也有错误的，也有悬而未决的。

17世纪法国业余数学家，别看人家冠以业余的称呼（没受过系统的专业教育），但他的风光都盖过同时代法国的专业数学家了，费马发现2^(2^n)+1这个形式（后人称为费马数），当n=0,1,2,3,4时，分别对应的数是3，5，17，257，65537都是素数。n=5这个数太大了，当时的条件很难完成，于是他猜想2^(2^n)+1这个形式对应的数都是素数。后来人们算出来n=5时，这个数是4294967297=641×6700417，显然n=5不是素数，后来有了计算机后，人们通过大量的计算，发现已知的n大于等于5对应的数都不是素数。

（3）素数定理

后来的数学家把希望放在寻找大致的一个出现概率（分布密度）上，例如：

1~10中有四个素数2、3、5、7，素数占全体数的比例是40%；

1~100中有25个素数，素数占全体数的比例是25%；

1~1000中有168个素数，素数占全体数的比例是16.8%；

1~100万中有78498个素数，素数占全体数的比例是7.84%；

前1亿个数，素数占全体数的比例是5.76%；

前100万亿个数，素数占全体数的比例是3.2%左右，等等。

函数中有这样的一个函数y=1/ln(x)（以e为的对数的倒数，其中e≈2.71828…），

x=100时，y=21.7%

x=1000时，y=14.5%

x=100万时，y=7.24%

x=1亿时，y=5.43%

x=100万亿时，y=3.1%

感觉是不是越来越接近，其实当x继续变大时，这两个数的差距越来越小，最后这个差趋于0。后来经过欧拉、高斯、黎曼等等很多光环加身的大数学家不断完善和发展，一直到19世纪末，数学家才证明了与此相关的著名的“素数定理”。

介绍这个定理前，首先定义一个π(x)符号，就是表示小于或等于自然数x的所有素数个数，例如通过前面介绍的可知道 π(100)=25，π(1000)=168

去除极限写法，这个定理的简单表示就是：当x趋于无穷大时，π(x)和x /ln(x)这两个数的比值趋于1

人们欣喜若狂的发现，一个看似杂乱无章的素数，其密度分布竟然有一个函数趋近对应，当然这个函数还有很粗糙的，x若不是很大很大，他们之间的差距还是不小。黎曼（波恩哈德·黎曼，公元1826~1866年，德国著名的数学家）1859年给出的黎曼猜想更进一步精确的给出了大素数分布的函数表达，有兴趣的可以自行百度了。黎曼猜想也是当今数学界中非常迫切需要证明但又无人证明的猜想，若此猜想被证明，会有一大批重要的命题升级为定理，若此猜想被否定，同样要埋葬一大批人的心血之作。