孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数）

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF 作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数 m,让编号为 0 的小朋友开始报数。每次喊到 m-1 的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续 0...m-1 报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从 0 到 n-1)

解题思路

我们知道第一个人(编号一定是 m%n-1) 出列之后，剩下的 n-1 个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为 k=m%n 的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 并且从 k 开始报 0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如 x 是最终的胜利者，那么根据上面这个表，由本层序号 x 推导到上一层序号 x'的公式是

x'=(x+k)%n

所以有递推公式

f(1)=0
...
f(i)=[f(i-1)+m]%i

代码

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if (n <= 0)
            return -1;
        if (n == 1)
            return 0;
        else
            return (LastRemaining_Solution(n-1, m) + m) % n;
    }
}