庄家 Margin 大于 1 与彩民不存在必胜策略的充分必要性证明

1. 背景介绍

1.1 Margin 的意义

从数学上来说，如果一个博彩盘口共有\(n\)种可能发生的结果(默认各个结果是互斥的)，且每种情况对应的赔率为\(O_i,, i \in \{1,2,3,\cdots,n\}\)，则我们记：

足彩的庄家在开盘时，会首先综合各种情况，对比赛结果的概率做一个分析，然后开出对应的赔率。以抛硬币为例，一枚正常的硬币，抛出正面和反面的概率应该各是\(\frac12\)，因此开出的公平赔率应该 2 和 2(即发生概率的倒数)，但实际情况来说，庄家开出的赔率会是 1.9 和 1.9，这样就可以保证，在任何情况下，彩民都没有必胜的下注方式。

2. Margin 大于 1 和彩民没有必胜策略充分必要性

首先，我们设一个博彩盘口共有\(n\)种可能发生的结果，且每种情况对应的赔率为\(O_i,, i \in \{1,2,3,\cdots,n\}\)
为了简化运算，彩民的赌资设为 1，并且其在第 i 个选项上下注量设为\(S_i\)，其策略集可以表示为\((S_1, S_2, \cdots, S_n)\)，显然有\(\sum_{i=1}^nS_i = 1\)。
当第 i 种情况发生时，彩民可以获得的收益为\(O_i*S_i\)

2.1 充分性（Margin>1 \(\Rightarrow\) 彩民没有必胜策略）

用反证法，假设彩民存在必胜策略，即

从而，我们可以得出

对所有 i 求和，显然有
\begin{align}
\sum_{i=1}^nS_i & > \sum_{i=1}^n\frac1O_i \\
1 & > \sum_{i=1}^n\frac1O_i = Margin
\end{align}
与前提矛盾，从而充分性得证。

2.2 必要性（彩民没有必胜策略 \(\Rightarrow\) Margin>1）

同样用反证法，反设\(Margin<1\)
此时，我们构造这样一种投注策略，彩民在第 i 种选项上的投注量为

这样的策略显然满足投注量总和为 1 的要求，但在这种策略下

又由反证假设，可以得到

即，我们构造出了一种投注策略使得彩民在任何情况下的收入都大于 1，与前提不符，从而必要性得证。