水塘抽样算法

简介

**作用:**水塘抽样算法是一种抽样算法,对于一个很大的集合,抽取的样本值能够保证随机.

**特点:**其复杂度并不很高 O(n),并且能够很大程度地节省内存.

问题导入

很多大公司的面试题都考察过这个算法,以谷歌为例,有一道关于水塘抽样的例题

我有一个长度为 N 的链表,N 的值非常大,我不清楚 N 的确切值.我怎样能写一个尽可能高效地算法来返回 K 个完全随机的数.

这道题有两个限制:

1.高效,即节省内存的使用

2:尽量随机地返回值

假如我们去掉限制 1,可以很简单地做出来,将所有数据加载进内存,计算链表长度,然后通过 random 函数来求取几个随机数.

这样的效率并不高,把所有数据加载到内存,如果数据非常大可能会导致无法计算.

注意题目中有一个小 tip,就是链表.链表这种数据结构是通过数据节点首尾相连形成的链式存储结构.

既然是链表,那么可以一个一个节点处理,不需要将所有数据加载到内存.一个节点一个节点去处理,这还不够形象,将题目换个形式来表述:

我们有 1T 的文本文件存在硬盘中,想随机抽取几行,保证尽可能少得使用内存并且能够完全随机.

之前想到的加载到内存就不太适合了,但是还可以想到别的办法,比如每次读取一行记录加载到内存,记数 +1,清空内存中行数据,直到最后统计一共多少行,然后根据总行数来计算 K 个随机数.如何再取回行对应的数据呢?我们可以再遍历一遍,一边遍历一边记录这一行的号码是不是在 k 个随机数中,如果是,则将该行内容保留.

这样的话遍历两次应该可以做到,但是 1T 数据遍历两次的时间消耗是非常高的.

所以还有更好的方案吗,那就是水塘抽样算法.

水塘抽样算法实现

具体例子

我们先从具体案例中理解水塘抽样算法的实现,再从抽象的角度来理解.

假如 10000 个数,我们要抽取十个随机数.

一万个数的样本集合数组记作 S.

十个随机数的数组记作 R,代表 result.

先取数组 S 中前十个数填充进数组 R.

算法的第一次迭代流程是这样的:

• 从第十一个数(下标为 10)开始迭代,生成一个 0 到 10 的随机整数 j,如果 j<10(假如 J=4),我们就将数组 R 中的第 5 项(R[4])替换成 S 数组中的第 11 项(S[10]).

遍历完成生成的 R 数组,就是我们要求的随机数组.

抽象概念

S[N] 记作:样本集合

R[K] 记作:结果集合

N 记作:S 数组大小

J记作:每次的随机数

K记作:前 K 个随机数

i记作:迭代次数.

步骤

• 取S集合中前K个数填入R集合

• 从S[K]开始遍历

  生成随机数J,范围是 $0->K+i-1$.因为数组下标从 0 开始,所以-1.

  如果J<K,则替换R中的值->R[j] = S[i].

• 遍历结束,生成结果数组R.

算法实现(JAVA)

	    int[] S = new int[10000];
		int N = S.length;
        Random random = new Random();
		//生成一万个数的数组
        for (int r = 0;r < N; r ++){
            S[r] = random.nextInt(10000);
        }
		
        int k = 10;
        int[] R = new int[k];
		//S前K个数填充R数组
        for (int f = 0;f < k; f++){
            R[f] = S[f];
        }
        int j ;
		//遍历数组S,根据算法,替换R数组中的元素,最终生成结果R数组.
        for (int i = k;i < S.length;i++){
            j = random.nextInt(i);
            if (j < k)  R[j] = S[i];
        }
		//打印R数组的结果
        for (int i =0;i < R.length;i++) {
            System.out.println(R[i]);
        }

总结一下这种算法.通过一遍遍历就获得了 K 个随机数,在很大数据的情况下效率是非常高的,非常适合我们的应用场景.

但是为什么这样生成的数是完全随机的呢?

就刚才的具体例子来讲,第一次遍历时,i=10,随机数的范围是 0 到 10 共 11 个数,那么不替换的概率是 $10/11,等到第二次迭代时,不替换的概率变成$10/12,第三次 $10/13,第四次$10/14.......

这样看来好像每一次的概率并不相等,其实并不是这样,我们要看的是最终进入数组R中的概率,虽然第十一个数进入R的概率比较大,但是到最后他被替换的概率也很大,所以每个数最终保留在R中的概率到底是多少呢?

可以参考一下维基百科中的证明,我觉得非常清晰.

在循环内第 n 行被抽取的机率为 k/n，以P_n表示。如果档案共有 N 行，任意第 n 行(注意这里 n 是序号，而不是总数).

被抽取的机率为:

我们可以求得每行被抽取的概率是相同的,等于k/N.

非常巧妙,所以当我们面对这种情景时,可以考虑使用水塘抽样进行随机抽取.