一、问题回顾
还是要简单描述一下问题:有一个 5 X 5 的点方阵,如下图,要想用一笔画将所有的蓝色点连起来,是否有可行路线。需要满足 3 点要求:
1、笔画必须水平或垂直。
2、笔画不可以超出方阵边界之外,
3、每个点只经过一次,且不可以经过黄色点。
这个问题的数学证明已经在开头的文章中给出,在此不做赘述。这里只考虑它的算法实现。
在思考算法之前,需要先对问题进行抽象分析,我们可以将上面的问题理解成下图这样 :
二、模拟情景分析
由于题目已经被数学证明没有一条路线能够满足题目要求(证明过程见:这里),所以算法的目的不是为了找到所谓符合要求的路线,而是遍历从出发点向网格中所有点可形成的所有路线。可以假设上面的网格是一个地图,小明同学按照地图在网格中行走,目的是找出从出发点到所有点的所有路线。小明先在地图中规定坐标,网格底边作为 x 轴,左侧的竖边作为 y 轴,那么红色五角星坐标就是(1,4)。小明从原点开始出发,刚开始时地图中所有的交叉点都被标记“未走过”标识。小明随机选择下一个点,假如依次经过(0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,1)、(2,2)、(3,2)、(4,2)、(4,1)、(4,0)、(3,0)、(3,1),每往前走一个点,他都会在地图的相应位置标记已经走过。走到(3,1)时,由于四周的(2,1)、(3,2)、(4,1)都已经走到过,所以往前是无路可走的,只能逐步回退,回退之前小明为了下次不再重新走这个线路,他将这个线路记到了本子上,并标记本路线为历史路线,然后回退,每回退一步小明都会在离开的那个位置将“已走过”的标记涂抹掉并改为“未走过”标识,因为这样当下次从其他路线走时还可以走那个位置。当回退到(3,0)时,(3,1)位置就会由标记“已走过”改为标记“未走过”的状态,并发现临近的(2,0)还没有走过,于是不再回退,转向(2,0)。到达(2,0)时,又出现了无路可走的情况,于是记录当下的路线,然后回退并标记地图。当回退到(3,0)时,虽然会发现(3,1)是“未走过”状态,但由于如果走(3,1)的话就会发现这条路线在笔记本的历史路线中已经出现过,所以依然不能走(3,1),继续回退,按照这个原则一直走下去,直到遍历完从起点出发到达地图上所有点的所有路线,小明最终一定会回到起点。此时他笔记本中的历史路线列表,就是从起点达地图上所有点的所有路线。
三、算法分析
考虑到算法的实现,这显然是利用了数据结构中的“图”。每一次路线尝试,都是对图的深度遍历,算法要做的事情,无非就是随机选择起点,然后不断地深度遍历新的路线。每往前走一步,就将新位置放进栈。这里要注意的是,针对每一次尝试,当走到无路可走时,并不意味着 24 个点全部已经遍历到了,因为根据规则,无路可走的原因可能是当下点的四周位置(下面统称为“邻居”)已经全部走过了,即它们已经在栈中了,或者是走到了边角的位置。那么此时无路可走该怎么办呢?是重新从起点开始呢,还是怎样。理论上都可行,不过考虑到效率,即让算法尽量少做重复的事情,我选择在无路可走时,将当下的路线(一个由点序列组成的数组)做记录(存入一个集合中,这个集合记录着所有历史路线),然后回退并将离开的位置从栈弹出,每次回退都将当下路线记录为历史路线,直到周围存在“没有在栈中的点”时不再回退,而是转向新的位置。此时,最近一次回退的那个历史路线决定了下次不会再走这个路线的方向。(假如连续回退了 N 步,那么最近一次回退的那个历史路线则是临近前 N-1 次回退历史路线的子集)。不断以上面的方式进行下去,由于“地图”是有限的,当所有可能路线全部遍历过时,最终一定会回到起点。此时历史路线集合列表,记录了从起点达地图上所有点的所有路线。
四、算法描述:
1、输入:一个二维数组 M[26][5]。(第一维度角标 1 到 4 分别代表上右下左四个方向,第二维度角标 1 到 25 分别代表图的每个点,一次从地图的左上到右下为 1 到 25。数组中的每个值,比如 M[20][1]=15 表示地图编号为 20 的点的上边是编号为 15 的点,M[20][2]=0 表示地图编号为 20 的点的右方没有通路。其中 M[i][0]=0,M[0][j]=0)
2、初始化:定义栈 Q = {1} 和 集合 H = {} .(Q 中记录了当下路径中依次走过的所有点,H 记录着所有的历史路径。)
3、重复以下动作,直到 Q = {}:
根据 Q 的栈顶元素 d,和邻接表 M 找出 d 的所有临近点元素,从其中随机选择一个元素,且 Q 中不存在该元素,若找到,将该元素放入 Q 中。若找不到,则将 Q 的副本存入 H 中,并将 d 从 Q 中弹出。
4、输出:H。
五、算法实现
到这里,对原始问题的抽象思考过程和算法的理论分析过程已经描述完毕。下面就是用实际的代码实现该算法并做到可视化。如果不考虑可视化,那么随便一个编程语言都可以很方便的实现它,我之前用 java 写过,将结果输出在控制台那种。不过感觉没啥意思,还是想要可视化的感觉。当时很长一段时间我都不知道如何将它可视化,直到我遇到了 React,深入了解后,发现用 React 来完成该算法的可视化,真是再合适不过了。
由于 React 是面向组件开发的模式,并且可以很容易根据状态来自动渲染页面,所以可视化部分的设计,就变成对原始“地图”的拆解和状态的定义。我设计的最基础的组件和整体样式如下图这样:
每个位置(点)都有上下左右四个方向,点与点之间,如果存在连线,则将对应方向的线条用 CSS 渲染成“block”,其他渲染成“none”.这个过程在定义好 CSS 样式后,根据数据状态,React 会自动帮助界面渲染,不需要反复用 js 写渲染逻辑。
最终效果请点击这个 程序链接 1 或程序链接 2 查看。以下附带部分代码。另外关于实现过程中对性能的优化,我已经做了一些努力,以后也会不断对其优化,欢迎有兴趣的朋友提出高见。
import React, { Component } from 'react';
import './AppDemo.css';
import Grid from './Grid';
class AppDemo extends Component {
constructor(proprs) {
super(proprs);
var width = 5;
var height = 5;
var matrix = this.init(width,height);
var x = 50;
var start = Math.floor(Math.random() * width * height + 1);
this.state = {
matrix: matrix,
start: start,
arr: [start],
historyPath: [],
width: width,
height: height,
timeID: 0,
speed: 5,
random: true,
x: x,
time: 0
}
}
init(width,height){
var matrix = [[0, 1, 2, 3, 4]];
for (var numb = 1; numb <= width * height; numb++) {
var up = numb > width ? numb - width : 0;
var right = (numb % width) !== 0 ? numb + 1 : 0;
var down = numb <= width * (height - 1) ? numb + width : 0;
var left = ((numb - 1) % width) !== 0 ? numb - 1 : 0;
var arr = [numb];
arr.push(up);
arr.push(right);
arr.push(down);
arr.push(left);
matrix.push(arr);
}
return matrix;
}
handle() {
//var beginTime1=0;
//var beginTime2=0;
//beginTime1 = new Date().getTime();
var nowRow = this.state.arr[this.state.arr.length - 1];//获取当下的位置编号
var arr = this.state.arr;//路径编号
var matrix = this.state.matrix;//矩阵存储结构
var historyPath = this.state.historyPath;//历史路径
if (arr.length > 0) {//如果路径长度>0
var next = false;//默认找不到路径
var ran = 1
if (this.state.random) {
ran = Math.floor(Math.random() * 4 + 1);
}
//var beginTime4 = new Date().getTime();
for (var i = 0; i < 4; i++) {
var nextNumb = matrix[nowRow][ran];
if (nextNumb !== 0 && !this.containNowPath(nextNumb)) {//找到路径
arr.push(nextNumb);//将新元素入栈
if (!this.containHistoryPath(arr)) {//若新路径没有在历史路径中出现过,则走该路径
this.setState({
arr: arr
});
next = true;
break;
} else {//若新路径在历史路径中出现过,则跳过该路径
arr.pop();//放弃该位置
ran = ran + 1 > 4 ? 1 : ran + 1;
}
} else {
ran = ran + 1 > 4 ? 1 : ran + 1;
}
}
//var beginTime5 = new Date().getTime();
if (!next) {//如果无路可走
//判断当下路径(未退步之前)是否包含于历史记录。
if (!this.containHistoryPath(arr)) {
historyPath.push(arr.slice());//若没有包含与历史中,则将新的尝试路径保存进历史路径集中
}
arr.pop();//将最后一个元素弹出,相当于后退一步
this.setState({//修改当前改变了的状态
arr: arr,
historyPath: historyPath
});
}
} else {//若路径遍历结束,则换一个起点继续遍历。
this.stop();
// this.setState({
// start: this.state.start + 1,
// arr: [this.state.start + 1],
// historyPath: [],
// len: 5
// });
}
// beginTime2 = new Date().getTime();
// var time = beginTime2 - beginTime1 ;
// if(time> this.state.time){
// this.setState({//修改当前改变了的状态
// time: time
// });
// }
//alert(time);
}
containNowPath(row) {//判断下一个位置是否已经存在当下路径中。
var r = false;
for (var i = 0; i < this.state.arr.length; i++) {
r = this.state.arr[i] === row;
if (r) {
break;
}
}
return r;
}
containHistoryPath(arr) {//从历史路径中查找是否已经存在下一步要走的路径
var r = false;
var historyPath = this.state.historyPath;
for (var i = historyPath.length - 1; i >= 0; i--) {
r = historyPath[i].toString().indexOf(arr.toString()) !== -1;
if (r) {
break;
}
}
return r;
}
render() {
return (
<div>
<div style={{ margin: "50px auto 0px auto", width: (this.state.width * this.state.x) + "px", minWidth: "700px" }}>
<div className="control">
<button type="button" onClick={() => this.start()}>开始</button>
<button type="button" onClick={() => this.stop()}>暂停</button>
<button type="button" onClick={() => this.start()}>继续</button>
<button type="button" onClick={() => this.step()}>单步</button>
<apan style={{ margin: "0px auto 0px 10px", width: "120px", display: "inline-block" }}>尝试次数:{this.state.historyPath.length}</apan>
<apan style={{ margin: "0px auto 0px 10px" }}>速度:</apan>
<button style={this.state.speed === 1000 ? { backgroundColor: "#61dafb" } : {}} type="button" onClick={() => this.speed(1000)}>极慢</button>
<button style={this.state.speed === 500 ? { backgroundColor: "#61dafb" } : {}} type="button" onClick={() => this.speed(500)}>慢</button>
<button style={this.state.speed === 100 ? { backgroundColor: "#61dafb" } : {}} type="button" onClick={() => this.speed(100)}>中</button>
<button style={this.state.speed === 50 ? { backgroundColor: "#61dafb" } : {}} type="button" onClick={() => this.speed(50)}>快</button>
<button style={this.state.speed === 5 ? { backgroundColor: "#61dafb" } : {}} type="button" onClick={() => this.speed(5)}>极快</button>
<apan style={{ margin: "0px auto 0px 10px", width: "50px", display: "inline-block" }}></apan>
<button style={this.state.random ? { backgroundColor: "#61dafb" } : {}} type="button" onClick={() => this.random()}>随机</button><br />
</div>
<div className="control2">
<button style={{ width: "80px" }} type="button" onClick={() => this.addheight(1)}>增加行+</button>
<button style={{ width: "80px" }} type="button" onClick={() => this.addwidth(1)}>增加列+</button>
<button style={{ width: "80px" }} type="button" onClick={() => this.big(1)}>放大+</button><br />
<button style={{ width: "80px" }} type="button" onClick={() => this.addheight(-1)}>减少行-</button>
<button style={{ width: "80px" }} type="button" onClick={() => this.addwidth(-1)}>减少列-</button>
<button style={{ width: "80px" }} type="button" onClick={() => this.big(-1)}>缩小-</button>
</div>
<Grid x={this.state.x} width={this.state.width} height={this.state.height} arr={this.state.arr} />
</div>
</div >
)
}
addwidth(n) {
this.stop();
var width = this.state.width;
width = width + n;
if (width > 0 && width * this.state.x <= 1000) {
var matrix = this.init(width,this.state.height);
var start = Math.floor(Math.random() * width * this.state.height + 1);
this.setState({
matrix : matrix,
start: start,
arr: [start],
historyPath: [],
width: width
});
} else {
this.setState({
width: Math.floor(1000 / this.state.x),
});
}
}
addheight(n) {
this.stop();
var height = this.state.height;
height = height + n;
if (height > 0 && height * this.state.x <= 500) {
var matrix = this.init(this.state.width,height);
var start = Math.floor(Math.random() * this.state.width * height + 1);
this.setState({
matrix:matrix,
start: start,
arr: [start],
historyPath: [],
height: height
});
} else {
this.setState({
height: Math.floor(500 / this.state.x),
});
}
}
big(n) {
var x = this.state.x;
x = x + n;
if (x > 0 && ((x * this.state.width <= 1000) || (x*this.state.height<=500)) ){
this.setState({
x: x
});
} else {
this.setState({
x: Math.floor(x * this.state.width > x*this.state.height?1000/this.state.width:500/this.state.height)
});
}
}
// shouldComponentUpdate(nextProps, nextState){
// return nextState.arr.length>100;
// }
step() {
this.stop();
this.handle();
}
start() {
var timeID = this.state.timeID;
if (timeID === 0) {
timeID = setInterval(
() => this.handle(),
this.state.speed
);
}
this.setState({
timeID: timeID
});
}
stop() {
var timeID = this.state.timeID;
if (timeID !== 0) {
clearInterval(timeID);
}
this.setState({
timeID: 0
});
}
componentDidMount() {
var matrix = [[0, 1, 2, 3, 4]];
var width = this.state.width;
var height = this.state.height;
for (var numb = 1; numb <= width * height; numb++) {
var up = numb > width ? numb - width : 0;
var right = (numb % width) !== 0 ? numb + 1 : 0;
var down = numb <= width * (height - 1) ? numb + width : 0;
var left = ((numb - 1) % width) !== 0 ? numb - 1 : 0;
var arr = [numb];
arr.push(up);
arr.push(right);
arr.push(down);
arr.push(left);
matrix.push(arr);
}
}
speed(n) {
var timeID = this.state.timeID;
clearInterval(timeID);
timeID = 0;
timeID = setInterval(
() => this.handle(),
n
);
this.setState({
timeID: timeID,
speed: n
});
}
random() {
this.setState({
random: !this.state.random
});
}
sleep(numberMillis) {
var now = new Date();
var exitTime = now.getTime() + numberMillis;
while (true) {
now = new Date();
if (now.getTime() > exitTime)
return true;
}
}
}
export default AppDemo;
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