回溯算法解决子集、组合和排列问题

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概述

之前《"回溯法套路总结与应用" 》这篇文章中,讲了一个回溯算法的通用模板:

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

但我们在套用该模板解决实际算法问题时会发现,针对不同类型的问题,会有不同的细节需要注意。因而本篇文章就以子集组合排列三类常见搜索问题为例,来讲解使用回溯法来解决这三类问题所需要考虑的不同细节和思路。

子集

问题描述很简单:

image.png

在使用回溯法解决问题之前,我们可以根据题意画出搜索过程中产生的回溯树。

我们以示例 1 为例:

首先,空集 [] 肯定是一个子集

然后,以 1 开头的子集:[1],[1,2],[1,3],[1,2,3]。

以 2 开头的子集:[2],[2,3]

以 3 开头的子集:[3]。

然后将上述搜索过程写成一个回溯树:

image.png

从回溯树中可以看到,每次在做出一个选择(分支)时,都是添加一个新的未被使用的元素放到搜索列表中。但我们此时会有一个问题,如果来保证搜索时的元素是不重复的呢?

实际上,我们只需要添加一个 start 参数来控制递归,每次通过 for 循环来做出选择的时候,都从 start 来开始遍历。

具体代码如下:

class Solution {
    List<List<Integer>> res = null;
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        res = new LinkedList<>();
        LinkedList<Integer> trace = new LinkedList<>();
        backtrack(nums, 0, trace);
        return res;
    }
    private void backtrack(int[] nums, int start, LinkedList<Integer> trace) {
        //结束条件判断
        res.add(new LinkedList<>(trace));
	//通过start来控制选择的起始点
        for(int i = start; i < nums.length; i++) {
            //做出选择
            trace.add(nums[i]);
            //递归回溯
            backtrack(nums, i + 1, trace);
            //撤销选择
            trace.removeLast();
        }
    }
}

排列

组合问题,题目描述如下:

image.png

同样的,我们需要根据题意画出对应的回溯树。

n = 4, k = 2 为例,

首先,以 1 开头,长度为 2 的组合有:[1,2],[1,3],[1,4]。

以 2 的开头的组合有:[2,3],[2,4]。

以 3 开头的组合有:[3,4]。

画出对应的回溯树:

image.png

从回溯树中,我们可以看到组合问题最终搜索到的结果长度是一定的都等于 k,因而回溯结束的条件肯定可以用 k == trace.size() 来进行判断,当相等时,将搜索到的 trace 的结果添加到 res 列表中。另一方面,每一轮的搜索范围也不是所有元素,而是每次搜索添加的元素都是新的未被添加的元素,因而考虑增加一个 start 参数,来控制搜索的起始范围。

具体实现代码如下:

class Solution {
    List<List<Integer>> res = null;
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        res = new LinkedList<>();
        LinkedList<Integer> trace = new LinkedList<>();
        backtrack(n, 1, k, trace);
        return res;
    }
    private void backtrack(int n, int start, int k, LinkedList<Integer> trace) {
        //当trace中节点数量与k相同时,则记录结果并停止搜索
        if(k == trace.size()) {
            res.add(new LinkedList<>(trace));
            return;
        }
        for(int i = start; i <= n; i++) {
            //做出选择
            trace.add(i);
            //回溯
            backtrack(n,i + 1, k, trace);
            //撤销选择
            trace.removeLast();
        }
    }
}

执行结果如下:

image.png

组合

组合问题描述如下:

image.png

与上述过程类似,根据题意画出其回溯树。

我们以题中例子[1,2,3]为例,

以 1 开头的排列为:[1,2,3],[1,3,2]

以 2 开头的排列为:[2,1,3],[2,3,1]

以 3 开头的排列为:[3,1,2],[3,2,1]

对应的回溯树如下所示:

image.png

组合问题和前边排列问题的不同点在于,组合问题选择时,选择的范围会更广,每次做选择的时候,除了 trace 中已经存在的元素之外,其他的元素都要选择一遍。因而在解决该问题时,在"做出选择"之前需要判断当前选择的元素是否在 trace 中已经存在,如果存在则放弃此次选择。具体代码如下:

class Solution {
    List<List<Integer>> res = null;
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        res = new LinkedList<>();
        LinkedList<Integer> trace = new LinkedList<>();
        backtrack(nums, trace);
        return res;
    }
    private void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> trace) {
        //搜寻到结果集等于nums.size()则证明当前的一个全排列搜索解决完成
        if(nums.length == trace.size()) {
            res.add(new LinkedList<>(trace));
            return;
        }
        for(int num : nums) {
            //如果选择的元素已经存在
            if(trace.contains(num)) continue;
            //做出选择
            trace.add(num);
            backtrack(nums,trace);
            //撤销选择
            trace.removeLast();
        }
    }
}

运行结果如下:

image.png

总结

本文主要讲了通过回溯法如何解决排列、组合、子集这三类问题的基本思路:

组合问题关键点在于用一个 start 来保证每次选择的元素是之前未被选择过的

排列问题关键点在于通过 contains() 来保证每次选择的元素都未被包含在 trace 中

这两类问题回溯结束的时机都是搜索到的元素达到了预定的长度,即我们可以判断 trace 中元素的长度来判断是否终止此次回溯。

而子集问题则不然,因为它的长度是变长的,所以每次进入搜索的第一件事情就是将结果加入到结果集中。

参考

  1. 《labuladong 的算法小抄》
  • Java

    Java 是一种可以撰写跨平台应用软件的面向对象的程序设计语言,是由 Sun Microsystems 公司于 1995 年 5 月推出的。Java 技术具有卓越的通用性、高效性、平台移植性和安全性。

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  • 算法
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