摸一摸数据结构(树)

树型结构是一类重要的非线性数据结构。以树与二叉树最常用,直观上树是分支关系定义的层次结构。并且在计算机领域也有广泛应用,比如编译程序和数据库系统。

树的定义以及基本用语

定义

树是 n(n>=0) 的有限集。在任意一棵树非空树中

  1. 有且仅有一个特定根(root)的结点
  2. n>1 时,其余结点可分为 m(m>0) 个互不相交的有限集,其每一个结合本身又是一棵树,我们称为子树

有点抽象,我用表再尝试叙述一下

根结点 root 1
表一 1.1(2) 1.2(3) 1.3(4)
1.11(5) 1.12(6) 1.31(7)
1 2 3 4 5 6 7
1 1.1 1.2 1.3 1.11 1.12 1.31

左边是树的层次表示,1 表示根结点,1.1 表示其父结点为 1;1.11 表示其父节点为 1.1;这样就表示一个树的层次结构(可以画出树状图更为直观)。

右边是树的一维数组表示,也是计算机存储树的一种方式。在猫猫的理解里,数据的存储无非是连续的存储或者链式存储。所以树是一种逻辑上的结构,我们通过赋予数据一些联系来实现我们想要的功能。

基本术语
  1. 结点:一个数据元素及其若干指向其子树的分支。
  2. 结点的度,树的度:结点所拥有的子树的棵树称为结点的度;树中结点度最大值称为树的度。
    以表一为例,结点 1(根结点)的度为 3(其子树为 1.1,1.2,1.3);同时这个树的结点也是 3。
  3. 叶子结点,非叶子结点:度为 0,称叶子结点或终端结点;反之为非...或分支结点;除了根节点外,分支结点又称为内部结点。
    以表一为例,结点 1.11,1.12 是叶子结点(终端结点),1.1 为非叶子结点(分支结点,有分支,非根结点也是内部结点)。
  4. 孩子兄弟和双亲结点:
    一个结点的子树的根称为该结点的孩子结点或子结点;响应的该结点是其孩子结点的双亲结点或父结点。同一双亲结点所有子结点互称为兄弟结点
  5. 层次堂兄弟结点:
    规定树中根节点的层次为 1,其余结点的层次等于其双亲结点的层次加一。若某结点再第 n 层,则其子结点再第 n+1 层,双亲结点再同一层上的所有结点互称为堂兄弟结点
  6. 结点的层次路径,祖先和子孙:
    从根结点开始,到达某结点 p 所经过的所有结点成为结点 p 的层次路径(有且只有一条)。
    结点 p 的层次路径上的所有结点(p 除外)称为 p 的祖先。
    以某一结点为根的子树中的任意结点称为该结点的子孙结点。
  7. 树的深度:树中结点的最大层次值,又称为树的高,表一的树的深度为 3。
  8. 有序树和无序树:对于一棵树,若其中每一个结点的子树(若有)具有一定的次序,则该树称为有序树,反之无序树。(二叉树就是有序树,分左右)
  9. 补充-高度的另一定义:
    1. 深度:层次数,从上往下
    2. 高度:规定叶子结点的高度为 1,其双亲结点的高度等于它的高度加一,从下往上。
    3. 树的高度:等于根结点的高度,即根结点所有子女高度的最大值加一。
    4. 结点的深度和结点的高度是不同的。
    5. 树的高度和深度是相等的。
  10. 森林:是 m(m 大于 0)棵树互不相交的树的集合。若将一棵树的根结点删除,剩余的子树就构成了森林。
  11. 树的表示形式(图示请自行百度)
    1. 倒悬树。最常用的表现形式(树状图)
    2. 嵌套集合。是一些集合的集体,对任何两个集合,或者不相交,或者一个集合包含另一个集合。(类似我们离散中的集合图状表示)
    3. 广义表形式((A(b,c),D(e,f)))
    4. 凹入法表示形式(类似数的编目)

树的概念与术语有点多,这也侧面说明其重要性与复杂性。接下来根据这些概念思考

  1. 所有结点的度之和是多少?
    以表一为例,根结点 1 度是 3,1.1 的度是 2,1.2 没有度,1.3 度为 1。其度之和为 3+2+1=6,其结点有 7 个。那么结点为 n 个呢?
  2. 度为 m 的数中第 i 层至多有多少个结点(i>=1)?
  3. 高度为 h 的 m 叉树至多有多少结点?
  4. 具有 n 个结点的 m 叉树的最小高度?

好吧猫猫无法将详细的证明过程写出来,这些问题就是树的性质

树的性质
  1. 树中的结点数等于所有结点的度树之和加 1。
  2. 度为 m 的树中第 i 层上至多有 m^{i-1} 个结点(i>=1)。
  3. 高度为 h 的 m 叉树至多有 (m^h-1)/(m-1) 个结点。
  4. 具有 n 个结点的 m 叉树的最小高度为 [log_m(n(m-1)+1)]

二叉树的概念以及实现

二叉树的概念

定义

二叉树(binary tree)是另一种树型结构,其特点是每个结点至多有 2 个子树(即二叉树的度不能大于 2),并且二叉树的子树有左右之分,其次序不能任意颠倒。

这里我用表来表示一个简单的二叉树

表二 1
1.1 1.2
1.11,1.12 1.21,1.22

由二叉树的定义可知,有五种基本形式是满足二叉树的

  1. 空树,空树是树,也是二叉树。
  2. 只有根结点的树。
  3. 以表二为例,若一棵树只有结点 1 和 1.1,那么这是右子树为空的二叉树。
  4. 以表二为例,若一棵树只有结点 1 和 1.2,那么这是左子树为空的二叉树。
  5. 以表二为例,若一棵树只有结点 1,1.1 和 1.2,那么是左右子树均有的二叉树。

除此之外,二叉树也有满二叉树和完全二叉树的说法。

  1. 满二叉树:一棵深度为 k 且有 $2^{k}-1$ 个结点(最多结点)的二叉树
  2. 完全二叉树:若深度为 k 由 n 个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为 k 的满二叉树中编号从 1~n 一一对应,则为完全二叉树。(完全二叉树就是其结点序号对应满二叉树是一样的。)
二叉树的性质
  1. 非空二叉树中第 i 层至多有 2^{i-1} 个结点(i>=1)。用数学归纳法证明。
    假设我们有一个 i(大于 1) 层的二叉树,那么在这层上至多有 $2^{(i-1)}$。

  2. 深度为 k 的二叉树最多有 2^k-1 个结点(k 大于等于 1)
    由性质一可知,第 i 层的结点数至多有 2^{(i-1)}
    所以总的结点数:$2^0+2^1+……2^{k-1}=2^k-1$。

  3. 对任何一棵二叉树,其叶子结点的个数为 n_0,度为 2 的结点数为 n_2,则 n_0=n_2+1
    理解:
    假设一个二叉树叶子结点数为 n_0(度为 0),度为 1 的结点数为 n_1,度为 2 的结点数为 n_2
    所以我们能推出结点总数:N=n_0+n_1+n_2;二叉树有分支数 B(比如根结点后面跟的线就可以看成分支,实际上就是结点的度);
    分支数 B 的和等于度之和(不局限与二叉树);
    由于树的根结点是没有前驱的,所以一个二叉树的结点总数与分支数存在关系 B=N-1
    由此可以推出 n_0+n_1+n_2-1=2n_2+n_1;所以得到结论 n_0=n_2+1

  4. n 个结点的完全二叉树的深度为 log2^n+1(向下取整)
    假设完全二叉树的深度为 k,则根据性质 2 有 $2^{k-1}-1<n<=2^k-1 或 2^{k-1}<=n<2^k,取对数就可以得到性质 4。 log_{2^{n+1}}$ 也对

  5. 对一棵有 n 个结点的完全二叉树按层序自左到右进行编号,则对于编号为 i(1<=i<=n)的结点:

    1. 若 i 等于 1:则是二叉树的根。若 i》1,则其双亲结点编号是 i。
    2. 若 2i》n:则结点 i 是叶子结点;若不大于,则 i 结点的孩子结点编号为 2i。
    3. 若 2i+1》n:则结点 i 无右孩子;否则其右孩子编号为 2i+1

    证明是数学归纳法。

理解二叉树的性质对于我们如何实现有指导意义。

二叉树的实现

ps:因为二叉树的顺序没有链式常用,所以我们不做测试,而链式有时间补(鸽)

顺序二叉树结构
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include "Status.c"
#include "Scanf.c"

#define maxtreesize 100

typedef char telemtypesq;//假设顺序二叉树元素均为字符
typedef telemtypesq sqbitree[maxtreesize];//0号单元存储根结点

typedef{
	int level;//结点所在层
	int order;//结点再本层序号
}position;
初始化,清空与销毁
void initbitreesq(sqbitree T){
	int i;
	for(i=0;i<maxtreesize;i++) T[i]='\0';//这里用空字符填充
};

void clearbitreesq(sqbitree T){
	int i;
	for(i=0;i<maxtreesize;i++) T[i]='\0';//这里用空字符填充
};
void destroybitreesq(sqbitree T){
	//无,顺序二叉树销毁操作无
};

其函数内代码都是一样的,因为我们初始化一个顺序二叉树在计算机里是用数组,并且赋值都是字符型的空字符,而清空数组元素恰好是对数组数据清空。

判空
Status bitreeemptysq(sqbitree T){
	return T[0]=='\0' ? TRUE : FALSE;
};

通过 T[0]就可以知道二叉树是否为空

创建
Status createbitreesq(FILE *fp,sqbitree T){
	char ch;
	int i=0;
	while(Scanf(fp,"%c",&ch)==1&&ch!='\n'){
		if(ch=='^') T[i++]='\0';
		else T[i++]=ch;
	}
	return OK;
};//按层序序列构造二叉树
Status createbitreepresq(FILE *fp,sqbitree T,int i){
	char ch;
	Scanf(fp,"%c",&ch);
	if(ch=='^') T[i]='\0';
	else{
		T[i]=ch;
		createbitreepresq(fp,T,2*i+1);
		createbitreepresq(fp,T,2*i+2);
	}
};//按先序序列构造二叉树

层序序列构造:这里是用 scanf 函数来扫描文本填充到数组(二叉树)里面

先序序列构造:扫描文本后将文本中的 ^ 替换为空字符(空格),因为在 c 里面读取到空字符会停止扫描。

树的长度,深度和根结点
int bitreelensq(sqbitree T){
	int len;
	for(len=maxtreesize;len-1>=0;lem--){
		if(T[len-1]!='\0') break;
	}
	return len;
};

int bitreedepsq(sqbitree T){
	int level=0;
	while((int)pow(2.level)-1<bitreelensq(T)) level++;
	return level;
};

Status rootsq(sqbitree T,telemtypesq *e){
	if(bitreeemptysq(T)) return ERROR;
	*e=T[1];
	return OK;
};

树的长度并不是树的规模,对树进行遍历,若对应下标的值不为空,则跳出循环输出长度值。

树的深度:根据二叉树的性质(深度为 k 的二叉树最多有 $2^k-1$ 个结点(k 大于等于 1)),我们可以通过比较结点数来得到对应的深度。

树的根结点:判断树是否为空,然后直接输出根结点。

返回结点值
telemtypesq valuesq(sqbitree T,position s){
	int i=(int)pow(2,s.level-1)+s.order-2;
	return T[i];
};//返回树中某位置的结点值

传入树 T 与结点 S,把其树位次信息转为数组信息。,然后返回对应值就可以了。

为某位置结点赋值
Status assignsq(sqbitree T,position s,telemtypesq value){
	int i=(int)pow(2,s.level-1)+s.order-2;

	if(value=='\0' && (T[2*i+1]!='\0' ||T(2*i+2)!='\0'))
		return ERROR;
	else if(value!='\0' && T[(i+1)/2-1]=='\0')
		return ERROR;
	else 
		T[i]=value;
	return OK;
};//为树中某位置的结点赋值

传入二叉树 T 和结点 s,用 value 赋值。

首先转为数组序列表示,然后判断,若该结点的子树不为空,那么不能替换;若替换值不是空,且其父结点不存在,则不能替换(因为替换后一个变成一个没有父结点的结点)。

判断之后进行替换。

输出对应结点数值的父母结点,兄弟结点,孩子结点
telemtypesq parentsq(sqbitree T,telemtypesq e){
	int i;
	if(T[0]!='\0'){
		for(i=0;i<maxtreesize;i++){
			if(T[i]==e) return T[(i+1/2-1)];
		}
	}
	return '\0';
};

telemtypesq lchildsq(sqbitree T,telemtypesq e){
	int i;
	if(T[0]=='\0') return '\0';

	for(i=0;i<maxtreesize;i++){
		if(T[i]==e) return T[2*i+1];
	}
	return '\0';
};

telemtypesq rchildsq(sqbitree T,telemtypesq e){
	int i;
	if(T[0]=='\0') return '\0';

	for(i=0;i<maxtreesize;i++){
		if(T[i]==e) return T[2*i+1];
	}
	return '\0';
};

telemtypesq lsibsq(sqbitree T,telemtypesq e){
	int i;
	if(T[0]=='\0') return '\0';

	for(i=0;i<maxtreesize;i++){
		if(i%2==0 && T[i]==e) return T[i-1];
	}
	return '\0';
};

telemtypesq rsibsq(sqbitree T,telemtypesq e){
	int i;
	if(T[0]=='\0') return '\0';

	for(i=0;i<maxtreesize;i++){
		if(i%2==0 && T[i]==e) return T[i+1];
	}
	return '\0';
};

算法思路都是先遍历树,找到对应结点的下标值,然后根据二叉树的特性去输出。

遍历二叉树
void levelordertrasq(sqbitree T,void(Visit)(telemtypesq),int i){
	int i;
	int len=bitreelensq(T);

	for(i=0;i<len;i++){
		if(T[i]!='\0') Visit(T[i]);
	}
};

void preordertrasq(sqbitree T,void(Visit)(telemtypesq),int i){
	if(T[i]!=0){
		Visit(T[i]);
		preordertrasq(T,Visit,2*i+1);
		preordertrasq(T,Visit,2*i+2);
	}
};

void inordertrasq(sqbitree T,void(Visit)(telemtypesq),int i){
	if(T[i]!=0){
		preordertrasq(T,Visit,2*i+1);
		Visit(T[i]);
		preordertrasq(T,Visit,2*i+2);
	}
};

void postordertrasq(sqbitree T,void(Visit)(telemtypesq),int i){
	if(T[i]!=0){
		preordertrasq(T,Visit,2*i+1);
		preordertrasq(T,Visit,2*i+2);
		Visit(T[i]);
	}
};

遍历二叉树有好几种方法

  1. 层序遍历:我们通过树的长度去访问树中每一个数据
  2. 先序遍历:通过根左右的顺序去访问
  3. 中序遍历:通过左根右的顺序去访问
  4. 后序遍历:通过左右根的顺序去访问
数据的输出
void printsq(sqbitreesq T){
	int i,j,level;
	char tmp[maxtreesize][maxtreesize]={};
	level=bitreedepsq(T);

	for(i=1;i<level;i++)
		for(j=1;j<=(int)pow(2,i-1);i++)
			tmp[i-1][(int)pow(2,level-1)+(j-1)*(int)pow(2.level-i+1)-1]=T[(int)pow(2,i-1)-1+j-1;

	for(i=0;i<level;i++){
		for(j=0;j<2*(int)pow(2,level-1)-1;j++){
			if(tmp[i][j]!='\0') printf("%c",tmp[i][j]);
			else printf(" ");
		}
		printf("\n");
	}
}

传入树 T。函数内设变量存储树的深度,根据深度对应的结点值去填充设置的二位数组 tmp

(其中的数据关系式猫猫不想看了,头大)

其他

其实除了这个简单的顺序二叉树,还有许多其他的不同的结构的二叉树。比如链式存储的二叉树,其实一般用链式二叉树更多,因为可以保证空间不会过多浪费。

还有树,森林的实现,都是坑(鸽)。

树与二叉树的应用

  1. 二叉查找树:也叫二叉排序树,是根据二叉树的特性进行数据查找的一种算法。
  2. 平衡二叉树:为了避免树的高度增长,降低二叉排序树的性能,我们要保证左,右子树高度差绝对值不超过 1,将这样的二叉树称为平衡二叉树。
  3. 哈夫曼树:在许多应用中,树中结点被赋予一个表示某种意义的数值,称为权。从树的根到任意结点的路径长度(经过的边数)与该结点上权值的乘积,称为该结点的带权路径长度。
    在含有 n 个带权也结点的二叉树中,其带权路径长度最小的二叉树称为哈夫曼树。

思考

  1. 对于任意一棵高度为 5 且 10 个结点的二叉树,若用顺序存储方式,每个结点占据一个存储单元,则其存储单元数量至少是多少?
  2. 一个具有 1025 个结点的二叉树的高度为多少?

ps: 摸一摸数据结构(目录)

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  • stillwarter
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    其实我也是麻的 😂