计算机组成原理 - 第 6 章 - 计算机的运算方法

本章主要介绍参与运算的各类数据（无符号数和有符号数、定点数和浮点数等），以及它们在计算机中的算术运算方法。

6.1 无符号数和有符号数

1.码制比较

类型	定义	表示范围(n+1 位，1 位符号位)	作用
原码			带符号的绝对值表示
补码			消除减法运算
反码			由原码求补码或由补码求原码的中间过渡

2.相互转换

6.2 定点数和浮点数

1.定点数的表示

小数点按约定的方式标出，小数点位于

• 符号位和第一数值位之间：纯小数
• 数值位之后：纯整数

原码、补码、反码在定点数中的表示范围：

2.浮点数的表示

1.浮点数的表示形式

各参数的意义如下：

• Sf： 浮点数的符号位
• n：尾数的位数，反映浮点数的精度
• m：阶码的位数，反映浮点数的表示范围
• jf和m：共同表示小数点的实际位置，这条没什么用

机器零：

• 当浮点数尾数为 0 时，不论阶码为何值，按机器零处理
• 当浮点数阶码等于或小于所能表示的最小值时，不论尾数为何值，按机器零处理

2.浮点数的表示范围

练习：设机器字长为 24 位，与表示正负 3 万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取 1 位外，阶码、尾数各取几位？

3.浮点数的规格化表示

• 基数 r 越大，可表示的浮点数的范围越大
• 基数 r 越大，浮点数的精度降低

例 6.15

6.3 定点数运算

1.移位运算

1. 算术移位
有符号数，无论是正数还是负数，移位时符号位保持不变

算术移位规则：

• 正数：原码、补码、反码移位均添 0
• 负数：
  • 原码：都添 0
  • 补码：左移添 0，右移添 1
  • 反码：都添 1

2. 逻辑移位
无符号数，移位规则：

• 逻辑左移，低位添 0，高位移丢；
• 逻辑右移，高位添 0，低位移丢.

2.加减运算

1. 加减法运算

• 减法运算可以看做被减数加上一个减数的负值，即 A -B = A + (-B)

• 因此若机器数采用补码，当求 A- B 时，只需先求[-B]_补 就可按补码加法规则进行运算

• 求 [-B]_补 ：将[-B]_补 连同符号位在内每位取反。末位 +1

• 减法运算连同符号位一起运算，符号位产生的进位直接丢弃

  类型	加法	减法
  整数	[A]_补+[B]_补=[A+B]_补(mod 2^{n+1})	[A-B]_补 = [A]_补 + [-B]_补(mod 2^{n+1})
  小数	[A]_补+[B]_补=[A+B]_补(mod 2)	[A-B]_补 = [A]_补 + [-B]_补(mod 2)

2. 溢出判断
补码定点加减法运算判断溢出有两种方法

3.乘法运算

原码乘法

1.原码一位乘和原码两位乘

原码一位乘运算规则：

2.原码两位乘

原码两位乘运算规则、

原码一位乘和原码两位乘比较

补码乘法

1.补码一位乘

补码一位乘运算公式：

Booth 算法递推公式

补码乘法小结

4.除法运算

原码除法

特点：

• 上商 n + 1 次
• 第一次上商判溢出
• 移 n 次，加 n + 1 次
• 用移位的次数判断除法是否已经结束

6.4 浮点数运算

1.加减运算

步骤： 对阶、尾数求和、规格化、舍入

1.对阶
先求阶差 j_{x}-j_{y} 判断正负，然后对阶
对阶原则：小阶向大阶看齐
尾数要根据阶码的移动而移动

2.尾数求和
补码求和，没啥好说的

3.规格化
规格化数的定义：r=2, \frac{1}{2}<=|S|<1
规格化数的判断：

• 原码：无论正负，第一数值位需要为 1
• 补码：符号位和第一数值位不同

例：字长 12 位， 用定点补码规格化小数表示时,所能表示的正数范围是( )。
\frac{1}{2} ~ (1- 2^{-11} )

特例：[-\frac{1}{2}]_补 不是规格化的数，[-1]_补 是规格化的数

左规：尾数左移一位，阶码减 1，直到数符合第一数位不同为止
右规：当尾数溢出（>1）时，尾数右移一位，阶码加 1

4.舍入
在 对阶 和 右规 过程中，可能出现 尾数末位丢失 引起误差，需考虑舍入
0 舍 1 入法，恒置 “1” 法