数据中心的测量：揭开均值与中位数的面纱

在数据分析中，理解数据的“中心”位置是一项基本却至关重要的任务。数据的中心测量可以帮助我们概括大规模数据集，并从中提取有用信息。在这篇文章中，我们将探讨几种常见的中心测量方法，包括均值、中位数和众数，揭示它们在数据分析中的应用与意义。

1. 数据中心的定义

数据的“中心”是描述数据位置的一种方式。最常用的两种中心测量是均值（平均数）和中位数。这两者在数据集中扮演着不同的角色，各有其优缺点。

1.1 均值（Mean）

均值是通过将所有数据值相加然后除以数据的总数来计算的。它是最常用的中心测量，通常用于表示数据集的整体水平。例如，如果我们要计算 50 个人的平均体重，只需将这 50 个人的体重相加后除以 50 即可。

计算均值的公式为：

其中，\bar{x} 是样本均值，x_i 是每个数据值，n 是数据值的总数。

注意：在统计学中，均值有时被称为算术平均数，而“平均数”一词在非专业人士中更为普遍。

1.2 中位数（Median）

中位数是将数据排序后位于中间的值。它将有序数据集分成两半，确保每侧有相等数量的观测值。中位数在遇到极端值或离群值时通常是更好的中心测量，因为它不受这些极端值的影响。

• 奇数个数据：中位数是中间的那个数。
• 偶数个数据：中位数是中间两个数的平均值。

例如，考虑以下数据集：

1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8; 7.2; 8; 8.3; 9; 10; 10; 11.5

排序后有 14 个观测值，因此中位数是第 7 和第 8 个值的平均数：

2. 均值与中位数的比较

均值和中位数在描述数据集的中心时可能会得出不同的结论，尤其是在数据集中存在极端值的情况下。例如，假设一个小镇上有 50 个人，其中 49 人年收入为 30,000 美元，而有一个人年收入为 5,000,000 美元：

• 均值计算：

• 中位数：
  由于 49 人收入相同，中位数则是 30,000 美元。

在这种情况下，均值被极端值拉高，未能准确反映大多数人的收入水平。因此，在这种情境下，中位数是更合理的中心测量。

3. 众数（Mode）

众数是数据集中出现频率最高的值。一个数据集可以有一个众数、多个众数，或没有众数。例如，考虑以下成绩：

50; 53; 59; 59; 63; 63; 72; 72; 72; 72; 72; 76; 78; 81; 83; 84; 84; 84; 90; 93

在这个数据集中，众数是 72，因为它出现了五次。

众数可以用于定性数据的分析，因为它们不仅适用于数值数据，还可以用于类别数据。例如，如果数据集为：

红色; 红色; 红色; 绿色; 绿色; 黄色; 紫色; 黑色; 蓝色

那么众数就是红色。

4. 计算分组频率表的均值

对于只提供分组数据的情况，我们并不知道具体的个体数据值，但可以通过计算频率表的均值来进行估算。首先，我们需要找到每个区间的中点，并用这些中点来计算均值。

例如，考虑以下频率表：

成绩区间   学生人数
50–56.5   1
56.5–62.5  0
62.5–68.5  4
68.5–74.5  4
74.5–80.5  2
80.5–86.5  3
86.5–92.5  4
92.5–98.5  1

步骤 1：计算每个区间的中点。

步骤 2：使用公式计算均值：

其中f为频率，m为中点。

5. 实际应用案例

5.1 医院患者年龄的均值与中位数

假设某医院记录了一周内急诊室患者的年龄：

3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47;

均值计算：

中位数计算：

• 计算位置：

中位数在 20 和 21 的位置之间，两个 24 的平均值为 24。

6. 结论

均值、中位数和众数是描述数据中心位置的三种主要方法。了解它们的计算方法及适用场景，可以帮助我们在面对真实世界数据时做出更明智的决策。尤其是在极端值影响明显的情况下，中位数往往是更为可靠的中心测量。

参考文献

1. OpenStax. (2023). Introductory Business Statistics 2e. Retrieved from OpenStax.
2. Holmes, A., Illowsky, B., & Dean, S. (2023). Introductory Business Statistics (2nd ed.). Houston, Texas: OpenStax.

通过掌握这些中心测量的基本概念和应用，我们能够更好地理解和分析数据，揭示隐藏在数字背后的故事。期待在数据的海洋中与你再次相遇！