完全信息静态博弈

占优战略均衡

在博弈论中，占优战略均衡（Dominant Strategy Equilibrium）是指在一个策略组合中，每个参与者都选择了自己的占优策略，从而形成的均衡状态。以下是更专业的解释：

1. 占优策略：对于某个参与者来说，一个策略 ( s_i ) 是占优策略，如果对于所有其他参与者的策略组合 ( s_{-i})，策略 ( s_i ) 都能带来至少与其他策略同样好的结果，且在某些情况下更好。数学上，可以表示为：
   u_i(s_i, s_{-i}) \geq u_i(s_i', s_{-i}) \quad \forall s_{-i}, \forall s_i' \neq s_i
   其中 ( u_i ) 是参与者 ( i ) 的效用函数。
2. 占优战略均衡的形成：当每个参与者都选择了自己的占优策略时，整个博弈达到了占优战略均衡。在这个均衡中，没有参与者有动力去改变自己的策略，因为任何改变只会导致相同或更差的结果。
3. 性质：占优战略均衡是纳什均衡的一种特殊形式。所有占优战略均衡都是纳什均衡，但并非所有纳什均衡都是占优战略均衡。占优战略均衡具有更强的稳健性，因为它不依赖于对其他参与者策略的假设。

重复剔除的占优均衡

（Iterated Elimination of Dominated Strategies）是博弈论中的一种分析方法

定义

1. 占优策略：如前所述，一个策略被称为占优策略，如果无论其他参与者选择什么策略，该策略总是能带来至少与其他策略同样好的结果，且在某些情况下更好。
2. 剔除被支配的策略：在博弈中，如果某个策略被另一个策略支配（即存在一个策略在所有情况下都表现更好），那么可以将这个被支配的策略剔除。这个过程可以反复进行，直到没有更多的被支配策略可以剔除为止。
3. 重复剔除的占优均衡：经过多轮剔除后，剩下的策略组合可能形成一个均衡状态。这个均衡状态称为重复剔除的占优均衡。

过程

1. 初始博弈：开始时，列出所有参与者的策略和支付矩阵。
2. 第一轮剔除：识别并剔除所有被支配的策略。
3. 后续轮次：在剔除后，重新评估剩余策略，继续剔除被支配的策略。
4. 终止条件：当没有更多的被支配策略可以剔除时，停止过程。
5. 均衡识别：最终剩下的策略组合即为可能的均衡策略。

示例

考虑一个简单的博弈，支付矩阵如下：

• 第一轮剔除：

  • 对于参与者 A，策略 A2 在 B1 下的支付（1）低于 A1（3），因此 A2 被支配，可以剔除。

• 第二轮剔除：

  • 剩下的策略 A1 在 B2 下的支付（1）低于 B2（3），因此没有进一步的剔除。

纳什均衡

一句话道出本质：

纳什均衡的本质在于每个参与者在给定其他参与者策略的情况下，选择自己的最佳策略，从而没有人有动力单方面改变其策略 。

博弈的基本构成

1. 参与者：设有 ( N ) 个参与者，记为 (P_1, P_2, \ldots, P_N )。
2. 策略集合：每个参与者 ( P_i ) 有一个策略集合 (S_i )，其中 ( S_i ) 表示参与者 ( P_i ) 可选择的所有策略。
3. 收益函数：每个参与者的收益函数 ( u_i ) 依赖于所有参与者的策略选择，定义为：
   ​u_i: S_1 \times S_2 \times \ldots \times S_N \rightarrow \mathbb{R}
   其中 ( u_i(s_1, s_2, \ldots, s_N)​表示在策略组合 ( (s_1, s_2, \ldots, s_N) )下，参与者 ( P_i ) 的收益。

纳什均衡点的定义

一个策略组合(s_1, s_2, \ldots, s_N) 是纳什均衡，当且仅当对于每个参与者 ( P_i ) 来说，满足以下条件：
​u_i(s_1^*, s_2^*, \ldots, s_i^*, \ldots, s_N^*) \geq u_i(s_1^*, s_2^*, \ldots, s_i, \ldots, s_N^*
对于所有( s_i \in S_i )。

图示表示

可以用图示来表示纳什均衡，以下是一个简单的二维博弈示例：

• 策略空间：假设有两个参与者 ( P_1 ) 和 ( P_2 )，每个参与者都有两个策略 ( A ) 和 ( B )。
• 收益矩阵：

在这个收益矩阵中，元组中的第一个数字表示 ( P_1 ) 的收益，第二个数字表示 ( P_2 ) 的收益。

纳什均衡的例子

在上述收益矩阵中，策略组合 ( (A, A) ) 和 ( (B, B) ) 都是纳什均衡：

• 在 ( (A, A) ) 中，若 ( P_1 ) 改变为 ( B )，收益变为 3，若 ( P_2 ) 改变为 ( B )，收益变为 2，因此没有参与者有动机改变策略。
• 在 ( (B, B) ) 中，若 ( P_1 ) 改变为 ( A )，收益变为 0，若 ( P_2 ) 改变为 ( A )，收益变为 1，因此同样没有参与者有动机改变策略。