典型相关分析

研究两组变量（每组变量中有多个指标）之间相关关系

揭示出两组变量之间的内在联系

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一、典型相关分析到底是什么？

如果我们为了研究两组变量的相关性

是的典型相关分析的研究对象是：两组变量（各含有多个小指标）的相关性

$$
\begin{cases}
X = (x_1, x_2, \cdots, x_p) \
Y = (y_1, y_2, \cdots, y_q)
\end{cases}
$$

最常规的思路是什么，是不是把X的p个指标和Y的q个指标都做一遍相关性系数，这样就是pq次，这肯定是非常不好的方法

在我们学习了因子分析模型之后应该意识到，多个指标（或者叫变量）是可以融合为一个综合因子的。所以我们如果希望研究X的p个指标的线性组合以及Y的指标线性组合的相关关系

这样的分析就叫典型相关分析

二、完整的步骤到底是什么？

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$U$​_$i$​$、V$​_$i$就是我们说的典型变量，他们之间的相关系数称为典型相关系数

上面这张图很清楚的说明了典型相关分析的步骤：

1. 定义变量X和Y， 标准化并检验****X和Y服从正态分布

   确定要分析的两组变量：

   $$
   \begin{cases}X = (x_1, x_2, \cdots, x_p) \Y = (y_1, y_2, \cdots, y_q)\end{cases}
   $$

   • 如果量纲不一样，需要标准化去除量纲的影响
   • 检验正态分布

2. 构建典型相关假设模型

   是的，他这里又是在构建假设模型，所以后面一定有假设检验

   典型相关分析的目标是找到一对线性组合，使得它们的相关性最大。

   $U1=a$​^$T$​$X$

   $V1=b$​^$T$​$Y$

   • 约束条件是**$Var(U1)=Var(V1)=1$**
   • 目标是使得**$U1$​和​$V1$​的相关系数最大**

   有时候不止提取一对线性组合:

   确定需要提取多少组典型变量（$Ui 和 Vi$）：

   累积贡献率

   • 计算典型相关系数的平方（特征值的平方） ，并查看它们的累积贡献率。巨大的典型相关系数贡献会指示这些对的相关性和解释力。一般来说，可以选择能够累积解释大部分变异（通常是85%-90%以上）的典型变量对

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   提取出来的每一对满足不相关

   $$
   Cov(Ui,Uj)=Cov(Vi,Vj）=0
   $$

3. 计算结果（求解特征值问题）（原理后面讲）

4. 计算典型相关系数

   从特征值中提取典型相关系数，这些系数反映了每对线性组合之间的相关强度。

5. 假设检验

   通过假设检验方法检验典型相关系数的显著性

6. 解释结果

三、典型变量到底怎么求出来的？

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可以证明这样求出来的典型变量是满足假设的：

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四、假设检验到底检验什么？

1. 变量的正太分布检验

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2. 检验X和Y是否相关

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3. 检验每一对典型变量是否显著（有必要）

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   我们发现如果k=0，就是上面我们的第二部检验（检验X和Y是否相关）

   因为前面以及做过了，所以我们知道这个假设是肯定要被推翻的（也就是第一对线性组合是显著的）

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   就这样一个个检验

   如果我们定了就两对典型变量，那么就需要继续检验第二对

五、到底怎么解释结果？

1. 对典型变量和典型相关系数进行直接的分析

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具体如何解释还是得看优秀论文中的使用

2. 有一种叫做典型载荷分析的东西

   典型载荷分析是初始变量和典型变量之间的相关性分析

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   如图横轴是X的三个典型变量，纵轴是X的原始变量

   求一下这样一个相关系数，然后进行具体的文字说明

3. 还有个叫典型冗余分析的东西

   我觉得这个东西看不懂莫名其妙

   就不用了，也不讲了

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六、最后总结下步骤流程

2. 定义变量X和Y， 标准化并检验****X和Y服从正态分布
3. 构建典型相关假设模型
4. 得出结果（典型变量、典型相关系数）
5. 假设检验（三大检验）
6. 解释结果（两大分析）

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