记一次动态规划的算法问题

题目

题目描述

王强今天很开心，公司发给 N 元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1 **~ **5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

    设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：

v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）

    请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

输入描述:

输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m

（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 **~ **5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述:

 输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。
实例：

输入：
-----
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
-----
输出:
2200

解法思路

这个题是一个动态规划的问题，假定总价格为 FP,商品数量为 FN，单个商品的价格为 P，重要程度为 I，编号为 Q;
先不考虑附件问题。当总价格不变，且商品价格都不超过 FP 时(P < FP)：

一件商品 f(1,FP) = P1 * I1

两件商品 f(2,FP) = Max(f(1,FP), f(1,FP-P2) + P2 * I2）

三件商品 f(3,FP) = Max(f(2,FP), f(2,FP-P3) + P3 * I3)

...

FN 件商品 f(FN,FP) = Max(f(FN-1,FP), f(FN-1,FP-FNP) + FNP * FNI)

上面的意思不知道能不能看懂，不过没关系，我这里解释一下，在决定是否要买一个价值 500 的物品时，我们要判断（FP-500）的价格下的最大值加上这 500 的值是否大于不买这 500 的时候的最大值，转换方程就是 f(FN,FP) = Max(f(FN-1,FP), f(FN-1,FP-P(FN-1)) + FNP * FNI)其中 FNP 为 FN 的价格，就是上面的 500，FNI 为 500 的商品的重要程度。

代码

import java.util.Scanner;  
  
public class demo16 {  
    public static void main(String[] args) {  
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);  
        //题目规定价格都是10的整数，所以所有价格都除10，方便后面的遍历
        int fullPrice = scanner.nextInt()/10;  
        int shopNum = scanner.nextInt();  
        int[] prices = new int[shopNum+1];  
        int[] importance = new int[shopNum+1];  
        int[] q = new int[shopNum+1];  
        for (int i = 1;i<=shopNum;i++){  
            prices[i] = scanner.nextInt() / 10;  
            importance[i] = scanner.nextInt() * prices[i];  
            q[i] = scanner.nextInt();  
        }  
        int[][] res = new int[shopNum+1][fullPrice+1];  
        for (int i = 1;i<=shopNum;i++){  
            for (int j=1;j<=fullPrice;j++){  
                //不是附件的情况
                if (q[i] == 0) {  
                    if (prices[i] <= j){  
                        //从数量1到N到价格1到N，依次求出所有情况的最大值，一直到要求的价格和数量
                        res[i][j] = Math.max(res[i-1][j],res[i-1][j-prices[i]]+importance[i]);  
                    }  
                } else {  
                    //如果是附件，则需要考虑该附件的的价格
                    if (prices[i] + prices[q[i]] <= j){  
                        res[i][j] = Math.max(res[i-1][j],res[i-1][j-prices[i]]+importance[i]);  
                    }  
                }  
            }  
        }  
        System.out.println(res[shopNum][fullPrice]*10);  
    }  
}