复杂度分析（上）: 如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

我们可以把这个规律总结成一个公式。注意，大 O 就要登场了！

我来具体解释一下这个公式。其中，T(n) 我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O ,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n + 2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n²+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫做作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚将的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n); T(n) = O(n²)。

时间复杂度分析

前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下，如何分析一段代码的时间复杂度？我这儿有三个比较实用的方法可以分享给你。

1.只关注循环执行次数最多的一段代码

我刚才说了，大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉分式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们再分析一个算法，一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这端核心代码执行次数的 n
的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。

为了便于你理解，我还拿前面的例子来说明。

 1  int cal(int n ){
 2      int sum = 0;
 3      int i = 0;
 4      for (; i <= n; ++i){
 5          sum += i;
 6      }
 7      return sum;
 8  }

其中 2、3 行代码都是常量级别的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，多以总的时间复杂度是 O(n).

2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

我这里还有一段代码。你可以先试着分析一下，然后在往下看跟我的分析思路是否一样。

  1   int cal(int n){
  2      int sum_1 = 0;
  3      int p = 1;
  4      for (; p < 100; ++p){
  5          sum_1 += p;
  6      }
  7
  8      int sum_2 = 0;
  9      int q = 1;
 10      for (; q < n; ++q){
 11         sum_2 += q;
 12      }
 13       
 14      int sum_3 = 0;
 15      int i = 1;
 16      int j = 1;
 17      for (; i <= n; ++i){
 18          j = 1;
 19          for (; j <= n; ++j){
 20              sum_3 = sum_3 + i * j;
 21          }
 22      } 
 23       
 24      return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 25  }

这个代码分为三部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。

这里我要在强调一下，即便这段代码循环 10000 次 、100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级别的执行时间。当 n 无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增粘的变化趋势，所以不管常量的时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。

那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n²)，你应该能容易分析出来，我就不啰嗦了。

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n²)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：
如果 T1(n) = O(f(n)) , T2(n) = O(g(n));那么 T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)),O(g(n))) = O(max(f(n),g(n))).

3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

我刚讲了一个复杂度分析中的加法法则，这儿还有一个乘法法则。类比一下，你应该能够 “猜到” 公式是什么样子的吧？

如果 T1(n)=O(f(n)), T2(n) = O(g(n));那么 T(n) = T1(n)*T2(n)=O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n)*g(n)).

也就是说，假设 T1(n) = O(n), T2(n) = O(n²),则 T1(n) * T2(n) = O(n³)。落实到具体的代码上，我们就可以把乘法法则看成是嵌套循环，我举个例子给你解释一下。

 1    int cal(int n){
 2        int ret = 0;
 3        int i = 1;
 4        for (; i < n; ++i) {
 5            ret = ret + f(i);
 6        }
 7    } 
 8
 9    int f(int n){
10       int sum = 0;
11       int i = 1;
12       for (; i < n; ++i){
13           sum += i;
14       }
15       return sum;
16    }

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4~6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n)
= O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)。

我刚刚讲了三种复杂度的分析技巧。不过，你并不用刻意去记忆。实际上，复杂度分析这个东西关键在于 “熟练” 。你只要多看案例，多分析，就能做到 “无招胜有招” 。

几种常见时间复杂度实例分析

虽然代码千差万别，但是常见的复杂度量级并不多。我稍微总结了一下，这些复杂度量级几乎涵盖了你今后可以基础所有代码的复杂度量级。

对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2ⁿ) 和 O(n!).

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加；求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

1. O(1)

首先你必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1) , 而 不是 O(3).

1    int i = 8;
2    int j = 6;
3    int sum = i + j;

我稍微总结一下，只要代码的执行时间不随 n 的增大而增大，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1) 。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是 O(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。

1    i = 1;
2    while (i <= n){
3        i = i * 2;
4    }

根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出，变量 i 的值 从 1 开始取，没循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把他一个一个列出来，就应该是这个样子的：

所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2^x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x = log₂n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log₂n)。

现在，我把代码稍微改下，你再看看，这段代码的时间复杂度是多少？

1    i = 1;
2    while (i <= n) {
3        i *= 3;
4    }

根据我刚刚讲的思路，很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O(log₃n)。

实际上，不管事以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？

我们知道，对数之间是可以互相转换的，log₃2 * log₂n，所以 O(log₃) = O(C * log₂n)，其中 C = log₃2 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log₂n)就等于 O(log₃n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的 “底”，统一表示为 O(logn)。

如果你理解了我前面讲的 O(logn)，那么 O(nlogn) 就很容易理解了。还接得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

3. O(m +n)、O(m * n)

我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩，先看代码！

 1      int cal(int m,int n){
 2        int sum_1 = 0;
 3        int i = 1;
 4        for (; i < m; ++i){
 5            sum_1 += i;
 6        }
 7        
 8        int sum_2 = 0;
 9        int j = 1;
10        for(; j < n; ++j){
11           sum_2 = sum_2 + j;
12        }
13        return sum_1 + sum_2;
14      }

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m) * T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

前面，咱们花了很长时间将大 O 表示法和时间复杂度分析，理解了前面讲的内容，空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。

前面我讲过，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度 (asymptotic space complexity) , 表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

我还是拿具体的例子来给你说明。（这段代码有点 “傻”，一般没人会这么写，我这么写只是为了方便给你解释。）

  1  void print(int n ){
  2      int i = 0;
  3      int[] a = new int[n];
  4      for(i; i < n; ++i){
  5          a[i] *= i;
  6      }
  7      
  8      for(i = n - 1; i >= 0; --i){
  9          print out a[i]
 10     }
 11  }

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n²)，像 O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容给已经足够了。

内容小结

基础复杂度分析的知识到此就讲完了，我们来总结一下。

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n²)。等你学完整个专栏之后，你就会发现几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。

复杂度分析并不难，关键在于多练。之后讲后面的内容时，我还会带你详细地分析每一种数据结构和算法时间、空间复杂度。只要跟着我的思路学习、练习，你很快就能和我一样，每次看到代码的时候，简单的一眼就能看出其复杂度，难的稍微分析一下就能得出答案。

课后思考

有人说，我们项目之前都会进行性能测试，在做代码的时间复杂度、空间复杂度分析，是不是多次一举？而且，每段代码都分析一下时间复杂度、空间复杂度，是不是很浪费时间呢？你怎么看待这个问题呢？