系综

本贴最后更新于 527 天前,其中的信息可能已经物是人非

对于学过概率论的朋友们:

系综=样本空间

微观状态=样本点

宏观状态=事件


微正则系综:隔绝系统和环境的一切物质和能量交换,其中各种微观状态等概率分布。

如果总共有 g 个微态,那么每个微态的概率为 w_i = \frac1g 。即 g 为其配分函数。

正则系综:允许系统和环境的能量交换(而且是任何能量的交换,排除光照这种只传递特定能量的情况),不允许系统和环境的物质交换。

记符号 \left< F_n\right>=\sum_{i=0}^\infty w_i F_i ,其中序列 {F_n} 的各元素分别表示各微观状态的相应性质,特别地, {w_n} 表示概率, {\epsilon_n} 表示能量。

根据概率论中的熵的定义 S=\left<-k \ln p\right> 和自由能的定义 A=U-TS = \left<\epsilon_n + kT \ln w_n\right> 和温度的定义 T:=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)^{-1}_{w=0} 使得 \mathrm dA = \delta w - S \mathrm dT {}+\mu \mathrm dN ,注意到无功自由换热条件的自发性判据是 \mathrm dA\le 0 ,故而代入概率的归一化条件 \left<1\right>=1 ,使用拉格朗日乘子法设任意系数 \lambda ,对每个微态的概率 w_i 求偏导数,分别得到的就是

\begin{aligned} \\&\phantom{{}={}}\frac{\partial}{\partial w_i}(\left<\epsilon_n + kT \ln w_n\right>-\lambda\left<1\right>)\\&=\frac{\partial}{\partial w_i} \left[w_i\left(\epsilon_i+kT\ln w_i - \lambda\right)\right] +0+\dots \\&=\left(\epsilon_i+kT\ln w_i - \lambda\right)+w_i\left({kT}{w_i^{-1}}\right)=0\end{aligned}\\

改设 q:=\exp\left(1-\frac{\lambda}{kT}\right) ,得到 w_i=\frac1q\exp\left({-\frac{\epsilon_i}{kT}}\right) ,就是玻尔兹曼分布, q 为其配分函数。

巨正则分布:允许系统和环境的物质交换,物质传递自动携带能量。

定义巨势 \Phi:=U-TS-\mu N 使得 \mathrm d \Phi = \delta w -S \mathrm dT - N\mathrm d\mu ,注意到无功传质条件的自发性判据是 \mathrm d\Phi \le 0 。用同样的方法得到 w_i = \frac1{\Xi} \exp \left(-\frac{\epsilon_i-\mu N_i}{kT}\right)\Xi 为其配分函数。

如果设 {w_{gsn}},{\epsilon_{gsn}}, {N_{gsn}} 分别表示处于具有第 n 少的粒子的,第 s 低的能级的,第 g 个简并态上的微观状态的概率、能量和粒子数,那么同具有第 s 少的粒子且同处于第 n 低的能级的所有微观状态组成一个微正则系综,而同具有第 s 少的粒子的所有微观状态组成一个正则系综,其配分函数满足

q_n = \sum_s g_{sn} \exp\left(-\frac{\epsilon_{sn}}{kT}\right)\\ \Xi = \sum_n q_n \exp\left(\frac{\mu N_n}{kT}\right)\\

彩蛋:概率论中是有熵这个概念的,而且定义方式与前文我介绍的相同。以下内容选自《大学基础数学自学丛书·概率论与数理统计基础》上科 1982 年版

相关帖子

回帖

欢迎来到这里!

我们正在构建一个小众社区,大家在这里相互信任,以平等 • 自由 • 奔放的价值观进行分享交流。最终,希望大家能够找到与自己志同道合的伙伴,共同成长。

注册 关于
请输入回帖内容 ...

推荐标签 标签

  • 反馈

    Communication channel for makers and users.

    123 引用 • 906 回帖 • 192 关注
  • 架构

    我们平时所说的“架构”主要是指软件架构,这是有关软件整体结构与组件的抽象描述,用于指导软件系统各个方面的设计。另外还有“业务架构”、“网络架构”、“硬件架构”等细分领域。

    140 引用 • 441 回帖
  • CloudFoundry

    Cloud Foundry 是 VMware 推出的业界第一个开源 PaaS 云平台,它支持多种框架、语言、运行时环境、云平台及应用服务,使开发人员能够在几秒钟内进行应用程序的部署和扩展,无需担心任何基础架构的问题。

    5 引用 • 18 回帖 • 152 关注
  • Quicker

    Quicker 您的指尖工具箱!操作更少,收获更多!

    19 引用 • 73 回帖
  • 工具

    子曰:“工欲善其事,必先利其器。”

    273 引用 • 679 回帖
  • Sublime

    Sublime Text 是一款可以用来写代码、写文章的文本编辑器。支持代码高亮、自动完成,还支持通过插件进行扩展。

    10 引用 • 5 回帖
  • Electron

    Electron 基于 Chromium 和 Node.js,让你可以使用 HTML、CSS 和 JavaScript 构建应用。它是一个由 GitHub 及众多贡献者组成的活跃社区共同维护的开源项目,兼容 Mac、Windows 和 Linux,它构建的应用可在这三个操作系统上面运行。

    15 引用 • 136 回帖 • 8 关注
  • BND

    BND(Baidu Netdisk Downloader)是一款图形界面的百度网盘不限速下载器,支持 Windows、Linux 和 Mac,详细介绍请看这里

    107 引用 • 1281 回帖 • 21 关注
  • Kubernetes

    Kubernetes 是 Google 开源的一个容器编排引擎,它支持自动化部署、大规模可伸缩、应用容器化管理。

    108 引用 • 54 回帖 • 1 关注
  • abitmean

    有点意思就行了

    21 关注
  • Openfire

    Openfire 是开源的、基于可拓展通讯和表示协议 (XMPP)、采用 Java 编程语言开发的实时协作服务器。Openfire 的效率很高,单台服务器可支持上万并发用户。

    6 引用 • 7 回帖 • 88 关注
  • Vue.js

    Vue.js(读音 /vju ː/,类似于 view)是一个构建数据驱动的 Web 界面库。Vue.js 的目标是通过尽可能简单的 API 实现响应的数据绑定和组合的视图组件。

    261 引用 • 662 回帖
  • Gzip

    gzip (GNU zip)是 GNU 自由软件的文件压缩程序。我们在 Linux 中经常会用到后缀为 .gz 的文件,它们就是 Gzip 格式的。现今已经成为互联网上使用非常普遍的一种数据压缩格式,或者说一种文件格式。

    9 引用 • 12 回帖 • 111 关注
  • Vditor

    Vditor 是一款浏览器端的 Markdown 编辑器,支持所见即所得、即时渲染(类似 Typora)和分屏预览模式。它使用 TypeScript 实现,支持原生 JavaScript、Vue、React 和 Angular。

    311 引用 • 1666 回帖 • 1 关注
  • 运维

    互联网运维工作,以服务为中心,以稳定、安全、高效为三个基本点,确保公司的互联网业务能够 7×24 小时为用户提供高质量的服务。

    148 引用 • 257 回帖
  • WebComponents

    Web Components 是 W3C 定义的标准,它给了前端开发者扩展浏览器标签的能力,可以方便地定制可复用组件,更好的进行模块化开发,解放了前端开发者的生产力。

    1 引用 • 28 关注
  • 房星科技

    房星网,我们不和没有钱的程序员谈理想,我们要让程序员又有理想又有钱。我们有雄厚的房地产行业线下资源,遍布昆明全城的 100 家门店、四千地产经纪人是我们坚实的后盾。

    6 引用 • 141 回帖 • 556 关注
  • 开源中国

    开源中国是目前中国最大的开源技术社区。传播开源的理念,推广开源项目,为 IT 开发者提供了一个发现、使用、并交流开源技术的平台。目前开源中国社区已收录超过两万款开源软件。

    7 引用 • 86 回帖 • 2 关注
  • 招聘

    哪里都缺人,哪里都不缺人。

    189 引用 • 1056 回帖 • 1 关注
  • RabbitMQ

    RabbitMQ 是一个开源的 AMQP 实现,服务器端用 Erlang 语言编写,支持多种语言客户端,如:Python、Ruby、.NET、Java、C、PHP、ActionScript 等。用于在分布式系统中存储转发消息,在易用性、扩展性、高可用性等方面表现不俗。

    49 引用 • 60 回帖 • 395 关注
  • 知乎

    知乎是网络问答社区,连接各行各业的用户。用户分享着彼此的知识、经验和见解,为中文互联网源源不断地提供多种多样的信息。

    10 引用 • 66 回帖
  • PostgreSQL

    PostgreSQL 是一款功能强大的企业级数据库系统,在 BSD 开源许可证下发布。

    22 引用 • 22 回帖 • 1 关注
  • Spark

    Spark 是 UC Berkeley AMP lab 所开源的类 Hadoop MapReduce 的通用并行框架。Spark 拥有 Hadoop MapReduce 所具有的优点;但不同于 MapReduce 的是 Job 中间输出结果可以保存在内存中,从而不再需要读写 HDFS,因此 Spark 能更好地适用于数据挖掘与机器学习等需要迭代的 MapReduce 的算法。

    74 引用 • 46 回帖 • 548 关注
  • MongoDB

    MongoDB(来自于英文单词“Humongous”,中文含义为“庞大”)是一个基于分布式文件存储的数据库,由 C++ 语言编写。旨在为应用提供可扩展的高性能数据存储解决方案。MongoDB 是一个介于关系数据库和非关系数据库之间的产品,是非关系数据库当中功能最丰富,最像关系数据库的。它支持的数据结构非常松散,是类似 JSON 的 BSON 格式,因此可以存储比较复杂的数据类型。

    90 引用 • 59 回帖 • 3 关注
  • JVM

    JVM(Java Virtual Machine)Java 虚拟机是一个微型操作系统,有自己的硬件构架体系,还有相应的指令系统。能够识别 Java 独特的 .class 文件(字节码),能够将这些文件中的信息读取出来,使得 Java 程序只需要生成 Java 虚拟机上的字节码后就能在不同操作系统平台上进行运行。

    180 引用 • 120 回帖
  • RESTful

    一种软件架构设计风格而不是标准,提供了一组设计原则和约束条件,主要用于客户端和服务器交互类的软件。基于这个风格设计的软件可以更简洁,更有层次,更易于实现缓存等机制。

    30 引用 • 114 回帖 • 3 关注
  • Firefox

    Mozilla Firefox 中文俗称“火狐”(正式缩写为 Fx 或 fx,非正式缩写为 FF),是一个开源的网页浏览器,使用 Gecko 排版引擎,支持多种操作系统,如 Windows、OSX 及 Linux 等。

    7 引用 • 30 回帖 • 452 关注