数据的表示

进制的转换

在计算机中数据的表示都是二进制的，只有 0 和 1。当一个十进制的数需要保存到计算机中需要先转换为二进制。十进制转二进制的规则有两条

1. 整数部分除 2 取余
2. 小数部分乘 2 取整

例如 10 转换为 2 进制的步骤：

10 / 2 = 5 ... 0
5  / 2 = 2 ... 1
2  / 2 = 1 ... 0
1  / 2 = 0 ... 1
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最后 2 进制的值为: 1010

我们再计算一下 0.59 的 2 进制表示

0.59 * 2 = 1.18 -> 1
0.18 * 2 = 0.36 -> 0
0.36 * 2 = 0.72 -> 0
0.72 * 2 = 1.44 -> 1
0.44 * 2 = 0.88 -> 0
0.88 * 2 = 1.76 -> 1
// .... 直到小数位等于0
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码制

码制是指数据在计算机中的编码方式

原码

原码可以理解为就是十进制到二进制的直接转换映射。

数值 $X$ 的原码记为 $[X{]}_{原}$，如果机器字长为 $n$，则原码的定义如下：

若 X 是纯整数，则 $[X{]}_{原}=\{\begin{array}{ll}X& \text{0}\le X\le 2^{2-1}-1\\ 2^{n-1}+|X|& \text{-}(2^{n-1}-1)\le X\le 0\end{array}$

若 X 是纯小数，则 $[X{]}_{原}=\{\begin{array}{ll}X& \text{0}\le X<1\\ 2^0+|X|& \text{-}1<X\le 0\end{array}$

$[+1{]}_{原}=00000001$

$[-1{]}_{原}=10000001$

反码

反码的范围，其中 $n$ 表示机器字长。

若 X 是纯整数，则 $[X{]}_{原}=\{\begin{array}{ll}X& \text{0}\le X\le 2^{n-1}-1\\ 2^{n-1}+|X|& \text{-}(2^{n-1}-1)\le X\le 0\end{array}$

该方程式的语义为：

当 $0\le X\le 2^{2-1}-1$ 时（正数），$X_{[原]}$ 的值等于 $X$。

当 $-(2^{n-1}-1)\le X\le 0$ 时（负数），$X_{[原]}$ 的值等于 $2^{n-1}+|X|$

同时也可以看出来 $X$ 的取值范围为：$-(2^{n-1}-1)$ 到 $2^{n-1} -1$

若 X 是纯小数，则 $[X{]}_{原}=\{\begin{array}{ll}X& \text{0}\le X<1\\ 2-2^{-(n-1)}+X& \text{-}1<X\le 0\end{array}$

反码表示法中，最高位是符号位，0 表示正数，1 表示负数。反码的正数表示和原码一致。负数的表示是原码的基础上取反。例如 $-5$ 的表示

$[-5{]}_{原}=00000101$ 数据位安位取反 $[-5{]}_{反}=01111010$

补码

补码的正数表示和原码反码一致。其负数表示法在反码的基础上末尾加 1。例如 -5 的表示：

$[-5{]}_{反}=01111010$ 末尾 +1 $[-5{]}_{补}=01111011$

移码

移码表示法是在数 $X$ 上增加一个偏移量来定义的，常用于表示浮点数中的阶码。如果机器字长为 $n$，规定偏移量为 $2^{n-1}$，则移码的定义如下：

若 $X$ 是纯整数，则 $[X{]}_{移}＝2^{n-1}+X(-2^{n-1}\le X<2^{n-1})$ 其中的 $2^{n-1}$ 就是上面说的偏移量

若 $X$ 是纯小数，则 $[X{]}_{移}=1+X(-1\le X<1)$ 在定点小数中，1 就相当于加到最高位上了

实际上，在偏移 $2^{n-1}$ 的情况下，只要将补码的符号位取反便可获得相应的移码表示。

移码的计算过程

计算 $+5$ 的移码

计算 $-5$ 的移码