函数定义
二元函数定义
有界函数：值域有界
无解函数：值域无界 \exist\{P_k\} \subset D,s.t.\lim\limits_{k\rightarrow \infin} f(P_k)= \infin
存在一系列点，使得函数取无限
多元函数
极限
极限定义
P_0是D的聚点,A是确定的实数\\
对\forall \epsilon > 0,\exist \delta > 0.s.t.当P\in U^\circ(P_0;\delta) \cap D,有|f(P)-A|<\epsilon\\
记作 \lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P) = A
子集极限定理
\lim\limits_{P \rightarrow P_0} f(P) =A \iff \forall E \subset D,只要P_0 是E的聚点，就有 \lim\limits_{P\rightarrow P_0} f(P) =A
取收敛子列，收敛子列的点也收敛
一般反用：
- 子列极限不存在
- 两子列极限不相等
推论：
极限\lim\limits_{P\rightarrow P_0} f(P) 存在 \iff 对任一D中的子列\{P_n\} = \{P_n \ne P_0 且 \lim\limits_{n\rightarrow \infin}P_n = P_0 \} 所对应的数列\{f(P_n)\}都收敛
非正常极限定义
P_0 是聚点\\
\forall M >0,\exist U^\circ(P_0;\delta) s.t.当P(x,y)\in U^\circ (P_0;\delta)\cap D时,有f(P) > M
幂次极限
定义
\varphi(y) = \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x,y),L = \lim\limits_{y\rightarrow y_0}\varphi(y) \\
\varphi(x) = \lim\limits_{y \rightarrow x_0}f(x,y),K = \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\varphi(x)
累次定理
f(x,y)在点(x_0,y_0)存在重极限和累次极限，则\\
\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \lim\limits_{y \rightarrow y_0} f(x,y)
推论：
两累次极限和重极限都存在，则 \\
\lim\limits_{y \rightarrow y_0} \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x,y) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \lim\limits_{y \rightarrow y_0} f(x,y)
极限顺序可以交换
连续性
定义
-
定义域中任意点都连续，则称为连续函数
-
P
0点-
孤立点
-
必连续
邻域与定义域的交集只有一点
-
-
聚点
- P_0 连续\iff \lim\limits_{P \rightarrow P_0} = f(P_0)
-
间断点
P_0 是D的聚点，但\lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P) \not = f(P_0)
增量
- 全增量
- 偏增量
- 全增量与偏增量的关系
连续的性质
-
局部有界性
-
局部保号性
-
有理运算法则
-
复合函数的连续性
内层函数与外层函数连续，则复合函数也连续
有界闭域上连续函数的性质
有界性，最大最小值定理
一致连续定理
-
一致连续
对\forall \epsilon>0,\exist \delta(\epsilon)>0,s.t.对\forall P,Q\in D,只要\rho(P,Q)<\delta,就有|f(P)-f(Q)|<\epsilon
介值性定理
微分
二元微分
全增量#定义#
在P_0(x_0,y_0)附近有定义\\
在点P_0处的全增量:\\
\Delta z=f(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0)
\\
=A\Delta x+B\Delta y +\circ(\rho)
-
可微的充分条件 #定理#
-
\rho = \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}
- 误差项是高阶无穷小
-
A,B 是仅与 P
0有关的常数
-
-
另一种形式
\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + \alpha \Delta x+ \beta \Delta y\\ \lim\limits_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0)} \alpha = \lim\limits_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0)} \beta = 0
全微分#定义#
在P_0处的全微分: \\
dz|_{P_0} = df(x_0,y_0) = A\Delta x+ B \Delta y
全增量取极限就是全微分
-
充分小时，全微分可做全增量的近似值
f(x,y) = f(x_0,y_0) + A(x-x_0)+B(y-y_0)
偏导数
偏增量#定义#
只有一个自变量增量，关于 x 的偏增量：\Delta _x z = A\Delta x + \alpha \Delta x
偏导数定义 #定义#
f_x(x_0,y_0) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\cfrac{\Delta _xf(x_0,y_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac{f(x_0+\Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x}
-
偏导数记号
-
至少要在 x
0附近有定义 -
每一点都有偏导数，则得到偏导函数
-
几何意义
- 取曲面的截面，截面上曲线的切线斜率就是偏导数
可微条件
可微的必要条件#定理#
可微 -> 偏导数存在
全微分公式改写:\\
dz = f_x(x_0,y_0)dx + f_y(x_0,y_0)dy
#结论#
\lim\limits_{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \rightarrow 0}\cfrac{\Delta x \Delta y}{\Delta x^2 + \Delta y^2}极限不存在
- 所有偏导数存在，不一定可微
可微的充分条件 #定理#
所有偏导数存在+偏导数连续 \implies 可微
- #证明#
- 偏导数连续并不是函数可微的必要条件
- 该定理也叫连续可微
多元函数中值定理 #定理#
可微可导连续之间的关系
-
可微 -> 可导
-
可微 -> 连续
只有这样的单向关系,可导和连续之间没有任何关系；偏导数只刻画了局部的性质
一元：可导一定连续，不连续一定不可导，连续不一定可导
可微的几何意义
切平面定义 #定义#
切线定义
两条直线一定会逐渐逼近，夹角会越来越小，故而恒有趋于 0
可微的充要条件 #定理#
-
推论
-
切平面方程
- z - z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) +f_y(x_0,y_0)(y-y_0)
-
法线
-
过切点 + 与切平面垂直的直线
-
方向数
- \pm (f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)
-
方程
- \cfrac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)} = \cfrac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)} = \cfrac{z-z_0}{-1}
-
-
多元微分
向量值函数
可导定义
导数连续
可微定义
可微充要条件
多元复合函数的求导法则
多元函数与向量值函数复合
向量值函数与向量值函数复合
一阶全微分形式不变性
中值定理和 Tarlor 公式
中值定理
推论
多元中值定理
Tarlor 公式定理
n 元 Tarlor 公式
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