二元函数

函数定义

二元函数定义

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有界函数：值域有界

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无解函数：值域无界 $\exists \{P_k\}\subset D,s.t.\underset{k\to \infty }{\lim }f(P_k)=\infty$

存在一系列点，使得函数取无限

多元函数

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极限

极限定义

子集极限定理

取收敛子列，收敛子列的点也收敛

一般反用：

1. 子列极限不存在
2. 两子列极限不相等

推论：

非正常极限定义

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幂次极限

定义

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累次定理

推论：

极限顺序可以交换

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连续性

定义

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• 定义域中任意点都连续，则称为连续函数

• P0 点

  • 孤立点

    • 必连续

      邻域与定义域的交集只有一点

  • 聚点

    • $P_0连续⟺\underset{P\to P_0}{\lim }=f(P_0)$

间断点

增量

• 全增量
• 偏增量
• 全增量与偏增量的关系

连续的性质

1. 局部有界性

2. 局部保号性

3. 有理运算法则

4. 复合函数的连续性

   内层函数与外层函数连续，则复合函数也连续

有界闭域上连续函数的性质

有界性，最大最小值定理

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一致连续定理

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• 一致连续

  $$对\forall ϵ>0,\exists \delta (ϵ)>0,s.t.对\forall P,Q\in D,只要\rho (P,Q)<\delta ,就有|f(P)-f(Q)|<ϵ$$

介值性定理

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微分

二元微分

全增量​#定义#​

• 可微的充分条件 ​#定理#​

  • $\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$

    • 误差项是高阶无穷小

  • A,B 是仅与 P0 有关的常数

• 另一种形式

  $$\begin{gathered} \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y \\ \underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\alpha =\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\beta =0 \end{gathered}$$

全微分​#定义#​

全增量取极限就是全微分

• 充分小时，全微分可做全增量的近似值

  $f(x,y)=f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0)$

偏导数

偏增量​#定义#​

只有一个自变量增量，关于 x 的偏增量：${\Delta }_{x}z=A\Delta x+\alpha \Delta x$

偏导数定义 #定义#​

• 偏导数记号​

• 至少要在 x0 附近有定义

• 每一点都有偏导数，则得到偏导函数

• 几何意义

  • 取曲面的截面，截面上曲线的切线斜率就是偏导数

可微条件

可微的必要条件#定理#​

可微 -> 偏导数存在

​#结论#​

$\underset{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\to 0}{\lim }\frac{\Delta x\Delta y}{\Delta x^2+\Delta y^2}极限不存在$

• 所有偏导数存在，不一定可微

可微的充分条件 ​#定理#​

• ​#证明#​​
• 偏导数连续并不是函数可微的必要条件
• 该定理也叫连续可微

多元函数中值定理 ​#定理#​

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可微可导连续之间的关系

• 可微 -> 可导

• 可微 -> 连续

  只有这样的单向关系,可导和连续之间没有任何关系；偏导数只刻画了局部的性质

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一元：可导一定连续，不连续一定不可导，连续不一定可导

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可微的几何意义

切平面定义 ​#定义#​

切线定义

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两条直线一定会逐渐逼近，夹角会越来越小，故而恒有趋于 0

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可微的充要条件 #定理#​

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• 推论

  • 切平面方程

    • $z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

  • 法线

    • 过切点 + 与切平面垂直的直线

    • 方向数

      • $\pm (f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)$

    • 方程

      • $\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$

多元微分

向量值函数

可导定义

导数连续

可微定义

可微充要条件

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多元复合函数的求导法则

多元函数与向量值函数复合

向量值函数与向量值函数复合

一阶全微分形式不变性

中值定理和 Tarlor 公式

中值定理

推论

多元中值定理

Tarlor 公式定理

n 元 Tarlor 公式

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