电影推荐的几何之旅：深入浅出 GeoIMC 算法

🎬 引言：当几何邂逅推荐系统

想象一下，你站在一个巨大的多维空间中，周围漂浮着成千上万的电影，而你就是这个宇宙的中心。听起来像科幻小说？不，这就是推荐系统的世界！今天，我们要探索一种名为"几何感知归纳矩阵补全"（Geometry Aware Inductive Matrix Completion，简称 GeoIMC）的算法，它巧妙地将几何学原理应用到了电影推荐中。准备好来一场跨越数学与电影的奇妙冒险了吗？系好安全带，我们这就出发！

🧮 GeoIMC：矩阵补全的几何艺术

🔍 算法的本质：寻找隐藏的联系

GeoIMC 算法，听起来像是某种高深莫测的魔法咒语，但其实它的核心思想非常优雅。想象一下，我们有一个巨大的表格，行代表用户，列代表电影，表格中的每个格子代表一个用户对一部电影的评分。但是，这个表格并不完整，有很多空白的格子，就像一幅未完成的拼图。GeoIMC 的任务就是要猜出这些缺失的评分，完成这幅"评分图"。

那么，GeoIMC 是如何完成这个看似不可能的任务的呢？它的秘密武器就是几何！算法将用户和电影都看作是高维空间中的点，然后通过寻找这些点之间的几何关系来预测缺失的评分。这就像是在星空中连接星座，通过已知的星星位置来推测未知星星的位置。

📐 数学模型：优雅的公式背后的逻辑

让我们稍微正式一点，看看 GeoIMC 的数学模型。对于 MovieLens-100K 数据集，我们有：

X \in R^{m \times d_1}：表示用户特征
Z \in R^{n \times d_2}：表示电影特征
M \in R^{m \times n}：表示部分观察到的评分矩阵

GeoIMC 将矩阵M建模为：

M = XUBV^TZ^T

其中：
U \in R^{d_1 \times k}：正交矩阵
V \in R^{d_2 \times k}：正交矩阵
B \in R^{k \times k}：对称正定矩阵

这个公式看起来可能有点吓人，但别担心！让我们用一个简单的比喻来理解它。想象X和Z是两组不同的乐高积木，U和V是两种特殊的"变形器"，可以改变积木的形状，而B则是一个"融合器"，将变形后的积木组合在一起。最终的结果M就是由这些积木拼出的作品，代表了用户对电影的评分。

🚀 实战：让 GeoIMC 在 MovieLens 数据集上大显身手

🛠️ 准备工作：数据和工具

首先，我们需要准备好我们的"实验室"。我们将使用著名的 MovieLens-100K 数据集，这个数据集包含了 943 个用户对 1682 部电影的 10 万个评分。

import tempfile
import zipfile
import pandas as pd
import numpy as np

from recommenders.datasets import movielens
from recommenders.models.geoimc.geoimc_data import ML_100K
from recommenders.models.geoimc.geoimc_algorithm import IMCProblem
from recommenders.models.geoimc.geoimc_predict import Inferer
from recommenders.evaluation.python_evaluation import rmse, mae

这些导入的库就像是我们的魔法工具箱，每个都有其特殊的功能。例如，movielens​模块帮助我们获取数据，IMCProblem​则是实现 GeoIMC 算法的核心。

🎭 数据的舞台：加载和特征化

接下来，我们需要为我们的数据搭建一个舞台。我们不仅要加载原始的评分数据，还要为用户和电影创建特征。这就像是为每个演员和每部电影都准备了一份详细的人物小传。

dataset = ML_100K(
    normalize=True,
    target_transform='binarize'
)
dataset.load_data(f"{dp}/ml-100k/")

这里，normalize=True​表示我们要对特征进行标准化，就像是让所有演员站在同一起跑线上。target_transform='binarize'​则是将评分转换为二元形式，相当于把"喜欢"和"不喜欢"简化为黑白两色。

🧩 问题的定义：设置 GeoIMC 的舞台

现在，我们要正式定义我们的 GeoIMC 问题：

np.random.seed(10)
prblm = IMCProblem(
    dataset.training_data,
    lambda1=regularizer,
    rank=rank
)

这里，regularizer​是正则化参数，用来防止模型过度拟合，就像是给演员设定一些基本的表演规则。rank​则定义了我们要在多少维度上描述用户和电影，可以想象成我们用多少种颜色来描绘这个世界。

🏋️ 训练过程：让算法学习和成长

训练过程就像是让我们的 GeoIMC 算法去健身房锻炼：

prblm.solve(
    max_time,
    max_iters,
    verbosity
)

这个过程可能需要一些时间，就像真正的锻炼一样，没有捷径可走。算法会不断调整自己的参数，直到找到最佳的解决方案或达到我们设定的时间限制。

🔮 预测：算法的 showtime

训练完成后，就到了见证奇迹的时刻！我们使用训练好的模型来预测测试集中的评分：

inferer = Inferer(method='dot')
predictions = inferer.infer(
    dataset.test_data,
    prblm.W
)

这就像是让我们训练有素的 AI 去猜测一个陌生人会给一部从未看过的电影打多少分。

📊 评估：算法的成绩单

最后，我们需要评估算法的表现。我们使用两个常用的指标：均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）：

RMSE = rmse(test_df, predictions_df)
MAE = mae(test_df, predictions_df)
print(f"""
RMSE: {RMSE}
MAE: {MAE}
""")

结果显示：

RMSE: 0.496351244012414
MAE: 0.47524594431584

这些数字告诉我们，GeoIMC 的预测平均偏差在 0.5 左右，考虑到评分范围通常是 1-5，这个结果其实相当不错！

🌈 结语：几何与电影的完美邂逅

通过这次奇妙的旅程，我们见证了数学之美如何在推荐系统中绽放。GeoIMC 算法巧妙地将几何学原理应用到电影推荐中，为我们展示了一个全新的角度来理解用户、电影和它们之间的关系。

这种方法不仅在理论上优雅，在实践中也展现出了不错的性能。它告诉我们，有时候，解决复杂问题的关键可能藏在看似不相关的领域中。谁能想到，几何学会成为电影推荐的一把利器呢？

下次当你打开 Netflix 或者其他流媒体平台，看到那些神奇的推荐时，别忘了，在背后可能有一个小小的几何精灵在默默工作，努力为你找到最合适的下一部电影！

📚 参考文献

1. Jawanpuria, P., Balgovind, A., Kunchukuttan, A., & Mishra, B. (2019). Learning Multilingual Word Embeddings in Latent Metric Space: A Geometric Approach. Transaction of the Association for Computational Linguistics (TACL), 7, 107-120.
2. Dong, X., Yu, L., Wu, Z., Sun, Y., Yuan, L., & Zhang, F. (2017). A Hybrid Collaborative Filtering Model with Deep Structure for Recommender Systems. Proceedings of the Thirty-First AAAI Conference on Artificial Intelligence (AAAI-17), 1309-1315.
3. Harper, F. M., & Konstan, J. A. (2015). The MovieLens Datasets: History and Context. ACM Transactions on Interactive Intelligent Systems (TiiS), 5(4), 1-19.
4. Koren, Y., Bell, R., & Volinsky, C. (2009). Matrix Factorization Techniques for Recommender Systems. Computer, 42(8), 30-37.
5. Srebro, N., Rennie, J., & Jaakkola, T. S. (2005). Maximum-Margin Matrix Factorization. Advances in Neural Information Processing Systems, 17, 1329-1336.