和概率有关的题目——乒乓球赛为什么采用 7 局 4 胜制

问题：乒乓球赛的 7 局 4 胜制为什么合理？一场比赛中甲和乙对决，每局甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4，请问是 5 局 3 胜甲赢的概率大，还是 7 局 4 胜甲赢的概率大？

分析：

大家有没有思考过，为什么乒乓球比赛采取的是 7 局 4 胜制？这种 2n-1 局 n 胜的赛制又为什么合理呢？

因为在每一局比赛中，两个选手的水平往往是不同的，所以制定的赛制规则应该满足以下要求： 对于水平相同的选手，要使他们最后胜出的概率是相同的； 对于水平比较高的选手，要使水平高的选手胜出的概率比较大（即该赛制可以选出强者）；

以 7 局 4 胜为例，首先，我们要明确的是在比赛中，7 局 4 胜并不是要打满 7 局才结束，而是谁先胜了 4 局谁就赢了。 所以呢，我们不能把 7 局 4 胜制的每局比赛当作 7 次独立重复实验。

假设甲和乙比赛，甲和乙在每一局比赛中获胜的概率分别为 p 和 q，比赛采取 2n-1 局 n 胜制，那咱们来看看怎么计算甲和乙的胜率吧。

当 n=2 时，也就是 3 局 2 胜制时：
P(甲胜的概率）= P(甲连胜 2 局) + P(甲第 3 局胜，前 2 局负 1 局)

当 n=3 时，也就是 5 局 3 胜制时：
P(甲胜的概率）= P(甲连胜 3 局) + P(甲第 4 局胜，前 3 局负 1 局) + P(甲第 5 局胜，前 4 局负 2 局)

所以在 2n-1 局 n 胜制时：
P(甲胜的概率）= P(甲连胜 n 局) + P(甲第 n+1 局胜，前 n 局负 1 局) + P(甲第 n+2 局胜，前 n+1 局负 2 局) + ... + P(甲第 2n-1 局胜，前 2n-2 局负 2n-1 局)

用公式来表示一下 2n-1 局 n 胜制时甲和乙的胜率
其中 P 表示甲的胜率：

Q 表示乙的胜率：

1. 当甲和乙的实力相当时，也就是说俩人每局比赛的胜利概率都为 0.5 时

3 局 2 胜赛制甲的胜率：

5 局 3 胜时甲的胜率：

2n-1 局 n 胜时:

又因为“甲胜出”和“乙胜出”是对立事件，所以

所以就能求得：

也就是说，如果甲和乙的实力相当时，不论是 3 局 2 胜还是 5 局 3 胜还是 2n-1 局 n 胜，他们俩最终胜利的概率都是相等的。

2、甲和乙实力不想当时 假设甲赢的概率 p 大于乙赢的概率 q， 下面我们来看看甲和乙的胜利概率各为多少

上面已经列出来了在 2n-1 局 n 胜时计算甲和乙胜率的通用公式，用甲的胜率减去乙的胜率：

上面得到的这个公式，因为甲胜的概率 p 是大于乙胜利的概率 q 的，所以很明显：

所以说最终上面甲的胜率减去乙的胜率的结果是大于 0 的，也就可以得到：

即

通过上面的验证，当甲实力比乙强时，采用 2n-1 局 n 胜制，甲胜出的概率比乙胜出的概率要大，所以对于强者来说，2n-1 局 n 胜制更能选出强者。

综上所述：
对于类似于乒乓球赛这样的比赛

• 当两人实力相当时，2n-1 局 n 胜制能保证两人最终胜利的概率是相等的；
• 当两人实力有差别时，2n-1 局 n 胜制能保证强者胜率更高，也就能通过比赛筛选出强者。

那么，还有一个问题，是不是 n 越大，则强者胜出的概率越大呢？
也就是说 7 局 4 胜制和 5 局 3 胜制哪个更利于强者。
这个证明的公式我不知道该怎么推（有知道证明方法的希望可以多交流哈），所以就写个程序，用上面的公式来计算一下，下面表中分别计算了当一个人胜率为 0.4、0.5、0.6 时，2n-1 局 n 胜制时他的胜率：

| P |n=2 |n=3 |n=4 |n=5 |n=6 |n=7 |n=8|
| --- | --- | --- | --- | ---|--- |--- |
| p=0.4 |0.352 |0.3174 |0.2898 |0.2666 |0.2465 |0.2288 |0.2131|
| p=0.5 |0.5 |0.5 |0.5 |0.5 |0.5 |0.5 |0.5|
| p=0.6 |0.648 |0.6826 |0.7102 |0.7334|0.7535 |0.7712 |0.7869 |
由上表计算的结果可以看出，对于一个胜率较高的人来说，采用 2n-1 局 n 胜时，n 越大他的最终胜率越高。

所以，对于咱们的问题，甲胜率为 0.6，乙胜率为 0.4 时，甲获胜的概率 7 局 4 胜制比 5 局 3 胜制要高。

为啥乒乓球赛使用7局4胜制，下面就是最通俗的解释了：
团体赛时是5局3胜制,这是为了减少整场比赛的时间;
而在单打赛时则为7局4胜制,这是为了增加强者获胜的机会;