图解 B 树 B+ 树算法

1. B 树

在介绍 B+ 树之前， 先简单的介绍一下 B 树，这两种数据结构既有相似之处，也有他们的区别，最后，我们也会对比一下这两种数据结构的区别。

1.1 B 树概念

B 树也称 B-树,它是一颗多路平衡查找树。二叉树我想大家都不陌生，其实，B 树和后面讲到的 B+ 树也是从最简单的二叉树变换而来的，并没有什么神秘的地方，下面我们来看看 B 树的定义。

• 每个节点最多有 m-1 个关键字（可以存有的键值对）。

• 根节点最少可以只有 1 个关键字。

• 非根节点至少有 m/2 个关键字。

• 每个节点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的所有关键字都大于它。

• 所有叶子节点都位于同一层，或者说根节点到每个叶子节点的长度都相同。

• 每个节点都存有索引和数据，也就是对应的 key 和 value。

所以，根节点的关键字数量范围：1 <= k <= m-1，非根节点的关键字数量范围：m/2 <= k <= m-1。

另外，我们需要注意一个概念，描述一颗 B 树时需要指定它的阶数，阶数表示了一个节点最多有多少个孩子节点，一般用字母 m 表示阶数。

我们再举个例子来说明一下上面的概念，比如这里有一个 5 阶的 B 树，根节点数量范围：1 <= k <= 4，非根节点数量范围：2 <= k <= 4。

下面，我们通过一个插入的例子，讲解一下 B 树的插入过程，接着，再讲解一下删除关键字的过程。

1.2 B 树插入

插入的时候，我们需要记住一个规则：判断当前结点 key 的个数是否小于等于 m-1，如果满足，直接插入即可，如果不满足，将节点的中间的 key 将这个节点分为左右两部分，中间的节点放到父节点中即可。

例子：在 5 阶 B 树中，结点最多有 4 个 key,最少有 2 个 key（注意：下面的节点统一用一个节点表示 key 和 value）。

• 插入 18，70，50,40
  

• 插入 22
  
  插入 22 时，发现这个节点的关键字已经大于 4 了，所以需要进行分裂，分裂的规则在上面已经讲了，分裂之后，如下。
  

• 接着插入 23，25，39
  
  分裂，得到下面的结果：
  

更过的插入的过程就不多介绍了，相信有这个例子你已经知道怎么进行插入操作了。

1.3 B 树的删除操作

B 树的删除操作相对于插入操作是相对复杂一些的，但是，你知道记住几种情况，一样可以很轻松的掌握的。

• 现在有一个初始状态是下面这样的 B 树，然后进行删除操作。
  

• 删除 15，这种情况是删除叶子节点的元素，如果删除之后，节点数还是大于 m/2，这种情况只要直接删除即可。
  

• 接着，我们把 22 删除，这种情况的规则：22 是非叶子节点，**对于非叶子节点的删除，我们需要用后继 key（元素）覆盖要删除的 key，然后在后继 key 所在的子支中删除该后继 key。**对于删除 22，需要将后继元素 24 移到被删除的 22 所在的节点。
  
  此时发现 26 所在的节点只有一个元素，小于 2 个（m/2），这个节点不符合要求，这时候的规则（向兄弟节点借元素）：删除叶子节点，如果删除元素后元素个数少于（m/2），并且它的兄弟节点的元素大于（m/2），也就是说兄弟节点的元素比最少值 m/2 还多，将先将父节点的元素移到该节点，然后将兄弟节点的元素再移动到父节点。 这样就满足要求了。
  

• 接着删除 28，删除叶子节点，删除后不满足要求，所以，我们需要考虑向兄弟节点借元素，但是，兄弟节点也没有多的节点（2 个），借不了，怎么办呢？如果遇到这种情况，首先，还是将先将父节点的元素移到该节点，然后，将当前节点及它的兄弟节点中的 key 合并，形成一个新的节点。
  
  移动之后，需要跟兄弟节点合并：
  

删除就只有上面的几种情况，根据不同的情况进行删除即可。

上面的这些介绍，相信对于 B 树已经有一定的了解了，接下来的一部分，我们接着讲解 B+ 树，我相信加上 B+ 树的对比，就更加清晰明了了。

2 B+ 树

2.1 B+ 树概述

B+ 树其实和 B 树是非常相似的，我们首先看看相同点。

• 根节点至少一个元素

• 非根节点元素范围：m/2 <= k <= m-1

不同点。

• B+ 树有两种类型的节点：内部结点（也称索引结点）和叶子结点。内部节点就是非叶子节点，内部节点不存储数据，只存储索引，数据都存储在叶子节点。

• 内部结点中的 key 都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个 key，左树中的所有 key 都小于它，右子树中的 key 都大于等于它。叶子结点中的记录也按照 key 的大小排列。

• 每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

• 父节点存有右孩子的第一个元素的索引。

下面我们看一个 B+ 树的例子，感受感受它吧！

2.2 插入操作

对于插入操作很简单，只需要记住一个技巧即可：当节点元素数量大于 m-1 的时候，按中间元素分裂成左右两部分，中间元素分裂到父节点当做索引存储，但是，本身中间元素还是分裂右边这一部分的。

下面以一颗 5 阶 B+ 树的插入过程为例，5 阶 B+ 树的节点最少 2 个元素，最多 4 个元素。

• 插入 5，10，15，20
  

• 插入 25，此时元素数量大于 4 个了，分裂
  

• 接着插入 26，30，继续分裂
  
  

有了这几个例子，相信插入操作没什么问题了，下面接着看看删除操作。

2.3 删除操作

对于删除操作是比 B 树简单一些的，因为叶子节点有指针的存在，向兄弟节点借元素时，不需要通过父节点了，而是可以直接通过兄弟节移动即可（前提是兄弟节点的元素大于 m/2），然后更新父节点的索引；如果兄弟节点的元素不大于 m/2（兄弟节点也没有多余的元素），则将当前节点和兄弟节点合并，并且删除父节点中的 key，下面我们看看具体的实例。

• 初始状态
  

• 删除 10，删除后，不满足要求，发现左边兄弟节点有多余的元素，所以去借元素，最后，修改父节点索引
  

• 删除元素 5，发现不满足要求，并且发现左右兄弟节点都没有多余的元素，所以，可以选择和兄弟节点合并，最后修改父节点索引
  

• 发现父节点索引也不满足条件，所以，需要做跟上面一步一样的操作。
  

这样，B+ 树的删除操作也就完成了，是不是看完之后，觉得非常简单！

3 B 树和 B+ 树总结

B+ 树相对于 B 树有一些自己的优势，可以归结为下面几点。

• 单一节点存储的元素更多，使得查询的 IO 次数更少，所以也就使得它更适合做为数据库 MySQL 的底层数据结构了。

• 所有的查询都要查找到叶子节点，查询性能是稳定的，而 B 树，每个节点都可以查找到数据，所以不稳定。

• 所有的叶子节点形成了一个有序链表，更加便于查找。