简谐振子 笔记
参考：格里菲斯 z-lib archive.org
1. 势能, 从能量算子到升降子
经典模型中的力满足 F\propto - x, 解出简谐振动方程 x=A\sin(\omega t+\varphi), 从而正比关系的比例系数是 m\omega^2.
量子力学沿用势场的表达式, 即
\hat U = \frac12 m\omega^2x^2 = \frac{1}{2m}(m\omega x)^2,
\begin{aligned}
\hat H&=\hat T+\hat U
= -\frac{ \hbar ^2}{2m} {\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}}
+\frac12 m\omega^2x^2
\\&=\frac{1}{2m}[
\hat p^2+(m\omega\hat x)^2].
\end{aligned}
遇到平方和关系。注意到 \hat p 的表达式中自带虚数单位，考虑将虚数单位提出来，回归平方差。对不可交换的乘法，平方差公式只能表示为
A^2 - B^2=\frac12[(A+B)(A - B)+(A - B)(A+B)],
因此设无量纲的降子和升子
a=\frac{m\omega\hat x+\mathrm i \hat p}
{\sqrt{2 \hbar m\omega}},
a^*=\frac{m\omega\hat x - \mathrm i \hat p}
{\sqrt{2 \hbar m\omega}},
继续展开，得
\hat H=\frac12 \hbar \omega(aa^*+a^*a).
2. 升降子的本性
2.1. 共享特征向量
根据动量和位置的交换子 [{\hat p},{\hat x}]= - i \hbar 知
\begin{aligned}
[{a},{a^*}]&=aa^* - a^*a
\\&=\frac1{2 \hbar m\omega}
(\mathrm i \hat p\circ2m\omega\hat x-
2m\omega\hat x\circ \mathrm i \hat p)
\\&=\frac{\mathrm i} \hbar (\hat p\hat x - \hat x\hat p)
=\frac{[{\hat p},{\hat x}]}{ - i \hbar }=I.
\end{aligned}
因此，a^*a 和 aa^* 只相差一个常数子，又 \hat H 本质上是量纲化的它们的平均，所以 a^*a, aa^*,\hat H 共享相同的特征向量。也就是说， aa^*=a^*a+I，而且 \hat H 可以表示为
\hat H= \hbar \omega(aa^* - \frac12I)= \hbar \omega(a^*a+\frac12I).
2.2. 存在基态
解零化方程 a\psi=0 ，得到范数为一的解 \psi_0 ，具体细节后续详述。
事实上降子的核空间 \ker a 正是一维的，由 \psi_0 张成。
显然， a^*a (\psi_0)=0。因此
\hat H\psi_0=\frac12 \hbar \omega\psi_0,
即 \psi_0 是（能量算子 \hat H 的，下同）属于特征值 \dfrac12 \hbar \omega 的特征向量。它被称为基态。
2.3. 升子增加特征值，降子减少特征值
设 \psi 是属于特征值 \left(\lambda+\dfrac12\right) \hbar \omega 的特征向量，那么：
\begin{aligned}
a^*a(\psi)&&=(\lambda)(\psi)
\\aa^*(\psi)&=(a^*a+I)\psi&=(\lambda+1)(\psi)
\\a^*a(a^*\psi)&=a^*(aa^*)\psi \\&=a^*(\lambda+1)\psi&=(\lambda+1)(a^*\psi)
\\a^*a(a\psi)&=(aa^* - I)a\psi \\&=a(a^*a)\psi - a\psi&=(\lambda - 1)(a\psi)
\\
\end{aligned}
经过了升子或降子的作用，特征向量仍然是特征向量，但属于不同的特征值，因此它们都是正交的（后面还会说），这很不平凡。事实上，升子将特征能量上升 \hbar \omega，降子将特征能量下降 \hbar \omega。
2.4. 对自然数公理的模仿
如果模仿自然数公理，认为自然数 0,1,2,3\dots 和特征向量 \psi_0,\psi_1,\dots 一一对应，那么：
-
存在一个基态 \psi_0 ，它是特征向量。
-
如果 \psi 是特征向量，那么它的升阶 a^*\psi 也是特征向量。
- 因为这些特征向量都是正交的，所以相等的定义直接用共线代替即可。
共线确实满足自反性、传递性、对称性。
- 升子对应后继，降子对应前趋。
-
没有特征向量升阶能得到基态。
-
正交的特征向量组逐一升阶，必然得到正交的特征向量组。
-
设 P(\psi) 是关于特征向量的一个性质。如果 P(\psi_0) 是真的，而且只要 P(\psi) 是真的， P(a^*\psi) 就也是真的，那么对于每个特征向量 \psi，P(\psi) 都是真的。
- 注意，数系扩充后自然数性质从来不要求对非自然数不成立，同样，属于此系整数特征值的特征向量的性质也不能说对属于非此系特征向量就不成立。甚至，大可存在此系之外的特征向量。只不过那个向量也要对应于另一个降子核空间的元素。
3. 升降子与内积
3.1. 升子与降子相伴随
利用位置算子作为乘法的线性，和动量算子作为微分算符的分部反线性。
\begin{aligned}
&\phantom{=}\left<{f}|{ag}\right> - \left<{a^*f}|{g}\right>
\\&=\int_\mathbb R f^*\left(\frac{m\omega\hat x+\mathrm i \hat p}
{\sqrt{2 \hbar m\omega}}g\right)\mathrm d{x}
-\int_\mathbb R \left(\frac{m\omega\hat x - \mathrm i \hat p}
{\sqrt{2 \hbar m\omega}}f^*\right)g\mathrm d{x}
\\&=\frac1{\sqrt{2 \hbar m\omega}}\left\{
\int_\mathbb R \left[f^*(m\omega\hat x g) - (m\omega\hat x f^*)g\right]\mathrm d{x}+
\int_\mathbb R \left[f^*(\mathrm i \hat pg)+(\mathrm i \hat pf^*)g\right]\mathrm d{x}\right\}
\\&=\frac1{\sqrt{2 \hbar m\omega}}\left[
\int_\mathbb R (m\omega xf^*g - m\omega xf^*g)\mathrm d{x}+ \hbar
\int_\mathbb R \left(f^*\frac{\mathrm d g}{\mathrm d x}+ \frac{\mathrm d f^*}{\mathrm d x} g\right)\mathrm d{x}\right]
\\&=\frac1{\sqrt{2 \hbar m\omega}}\left[
\int_\mathbb R 0\mathrm d{x} + \int_0^0 \mathrm d{(f^*g)}\right]=0
\end{aligned}
3.2. 特征向量的增殖和范数
设 \psi 是算子 a^*a 的属于 \lambda 的特征向量, 则计算它被算子 a 和 a^* 作用所得向量的范数得到
\begin{aligned}
\left<{a\psi|a\psi}\right>
&=\left<{\psi|a^*a\psi}\right>
\\&=\left<{\psi|\lambda\psi}\right>
\\&=\lambda\left<{\psi|\psi}\right>=\lambda,
\end{aligned}
\begin{aligned}
\left<{a^*\psi|a^*\psi}\right>
&=\left<{\psi|aa^*\psi}\right>
=\left<{\psi|(a^*a+I)\psi}\right>
\\&=\left<{\psi|a^*a\psi+\psi}\right>
=\left<{\psi|\lambda\psi+\psi}\right>
\\&=(\lambda+1)\left<{\psi|\psi}\right>=\lambda+1.
\end{aligned}
\psi_{n} 的编号使 a^*a\psi_{n}=n\psi_{n} . 为了归一化, 一般定义
\psi_{n}:=\frac{1}{\sqrt{n}} a^*\psi_{n-1},
迭代可知 \psi_n=\dfrac1{\sqrt{n!}}a^{*n}\psi_0 . 而且相应地成立递推式
\begin{aligned}
a^*\psi_{n}&=\sqrt{n+1}\psi_{n+1},\\ a\psi_{n}&=\sqrt{n}\psi_{n-1}.
\end{aligned}
我们曾经提到过, 设 n\ne m , 则 \psi_n 与 \psi_m 正交. 事实上,
\begin{aligned}
n\left<\psi_n|\psi_m\right>&=\left<a^*a\psi_n|\psi_m\right>
\\&=\left<\psi_n|a^*a\psi_m\right>
=m\left<\psi_n|\psi_m\right>,
\end{aligned}
因而只有可能 \left<\psi_n|\psi_m\right>=0 . 这正交性质意味着, 我们将振子的实际波函数按定态展开时, 我们可以用傅立叶技巧确定展开系数 c_n , 它的模长平方也是测量能量得到 \left(n+\dfrac12\right)\hbar\omega 的概率.
3.3. 坐标和动量的矩
\left<p^n\right>=\left<\psi|\hat p^n|\psi \right>=\int_\mathbb R\psi^*\hat p^n\psi\mathrm dx 称为向量 \psi 关于算子 \hat p 的第 n 阶矩.
用升降算子反向表示坐标和动量, 有
\hat x=\phantom{-\mathrm i\hbar}\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\frac{a+a^*}{\sqrt 2},\\\ \\
\hat p=-\mathrm i\hbar\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{a-a^*}{\sqrt 2}.
从而利用升降子的递推式, 将坐标和动量的矩算出, 这里设 \psi 是 a^*a 的属于 \lambda 的特征向量, 并求二阶矩：
\begin{aligned}
\left<\hat x^2\right>&=\frac{\hbar}{2m\omega}\left<\psi|(aa+aa^*+a^*a+a^*a^*)\psi\right>
\\&=\frac{\hbar}{2m\omega}\left(\left<\psi|a^2\psi\right>+\left<\psi|aa^*\psi\right>+\left<\psi|a^*a\psi\right>+\left<\psi|a^{*2}\psi\right>\right)
\\&=\frac{\hbar}{2m\omega}\left(0+\left<\psi|(\lambda+1)\psi\right>
+\left<\psi|\lambda\psi\right>+0\right)
\\&=\frac{\hbar}{m\omega}\left(\lambda+\frac12\right)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\left<\hat p^2\right>&=-\frac{m\hbar\omega}{2}\left<\psi|(aa-aa^*-a^*a+a^*a^*)\psi\right>
\\&=-\frac{m\hbar\omega}{2}\left(\left<\psi|a^2\psi\right>-\left<\psi|aa^*\psi\right>
-\left<\psi|a^*a\psi\right>+\left<\psi|a^{*2}\psi\right>\right)
\\&=-\frac{m\hbar\omega}{2}\left(0-\left<\psi|(\lambda+1)\psi\right>
-\left<\psi|\lambda\psi\right>+0\right)
\\&={m\hbar\omega}\left(\lambda+\frac12\right)
\end{aligned}
因而得到平均势能和平均动能. 它们恰好都是总能的一半.
\begin{aligned}
\left<V\right>=\left<\frac12m\omega^2x^2\right>&=\frac12m\omega^2\left<x^2\right>
=\frac12 \hbar\omega\left(\lambda+\frac12\right)\\
\left<T\right>=\left<\frac1{2m}p^2\right>&=\frac1{2m}\left<p^2\right>
=\frac12 \hbar\omega\left(\lambda+\frac12\right)
\end{aligned}
3.4. 坐标和动量的均值和方差
一个算子 A 的不确定度可以用它的标准差来量度, 标准差就是方均根, 而它的方差, 我们可以把“与均值的偏离程度”的均值从平方式中提出来, 有 D(A)=\left<\left(A-E(A)\right)^2\right>=\left<A^2\right>-\left<A\right>^2.
\begin{aligned}
E(x)&=\left<x\right>\\&=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left<\psi|(a+a^*)\psi\right>
\\&=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\left<\psi|a\psi\right>+\left<\psi|a^*\psi\right>\right)
\\&=0
\\
D(x)&=\left<x^2\right>-\left<x\right>^2
\\&=\frac{\hbar}{m\omega}\left(\lambda+\frac12\right)-0^2
\\&=\frac{\hbar}{m\omega}\left(\lambda+\frac12\right)
\\
E(p)&=\left<p\right>
\\&=-\mathrm i\hbar\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left<\psi|(a-a^*)\psi\right>
\\&=-\mathrm i\hbar\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\left<\psi|a\psi\right>-\left<\psi|a^*\psi\right>\right)
\\&=0
\\
D(p)&=\left<p^2\right>-\left<p\right>^2
\\&={m\hbar\omega}\left(\lambda+\frac12\right)-0^2
\\&={m\hbar\omega}\left(\lambda+\frac12\right)
\end{aligned}
这自然是坐标算子、动量算子的二阶矩，除了计算动能、势能之外的另一个应用。从而, 坐标与动量的不确定度满足 Heisenburg 不确定性原理, 有
\begin{aligned}
\Delta x\Delta p&=\sqrt{D(x)}\sqrt{D(p)}
\\&=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}\left(\lambda+\frac12\right)}
\sqrt{{m\hbar\omega}\left(\lambda+\frac12\right)}
\\&=\hbar\left(\lambda+\frac12\right)
\\&\ge\frac\hbar2
\end{aligned}
4. 振动波函数的分析求解
4.1. 基态与负平方指数
对角频率为 \omega 的振子, 设空间坐标的自然标度为
D=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}},
按该标度去量纲化的坐标为 q=\dfrac xD, 则降子和升子的表达式为
a\phantom {^*}=\frac{m\omega \hat x+\mathrm i\hat p}{\sqrt{2\hbar m\omega}}=\frac1{\sqrt 2}\left(q+\frac{\mathrm d}{\mathrm d q}\right),\\\ \\a^*=\frac{m\omega \hat x-\mathrm i\hat p}{\sqrt{2\hbar m\omega}}=\frac1{\sqrt 2}\left(q-\frac{\mathrm d}{\mathrm d q}\right).
从而降子核空间中的基态, 根据零化方程
\frac1{\sqrt 2}\left(q\psi_0+\frac{\mathrm d\psi_0}{\mathrm d q}\right)=0,
解得
\psi_0=A\mathrm e^{-\frac12q^2},
归一化系数服从 |A|^2D\sqrt\pi =1 , 它有著名的开四次方的形式
A=\mathrm e^{\mathrm i\theta}\sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}.
降子的核空间是一维的, 基态只有这么一族. 所以任何振子的实际波函数都可以用这个基态和它的升阶来线性表出.
4.2. 激发态与多项式系数
我们注意到指数函数对导数运算有某种不变性. 它和线性运算一起, 使得激发态波函数为一个关于坐标 q 的多项式 H_n(q) 和指数 \mathrm e^{-\frac12q^2} 的乘积. 考虑到迭代关系 \psi_n=\dfrac1{\sqrt{n!}}(a^*)^{n}\psi_0, 以及升降子中的系数 \dfrac1{\sqrt2}, 将通式
\begin{aligned}
\psi_n=\frac1{\sqrt{n!\,2^n}}H_n(q)\,\mathrm e^{-\frac12q^2}
\end{aligned}
代入递推式 a\psi_n=\sqrt n\psi_{n-1}, 得：
\begin{aligned}
\frac1{\sqrt2}\left(q+\frac{\mathrm d}{\mathrm dq}\right)
\left(\frac{H_n(q)\,\mathrm e^{-\frac12q^2}}{\sqrt{n!\,2^n}}\right)
&= \sqrt n \left(\frac{H_{n-1}(q)\,\mathrm e^{-\frac12q^2}}{\sqrt{(n-1)!\,2^{n-1}}}\right)
\\
qH_n(q)\mathrm e^{-\frac12q^2} + H_n'(q)\mathrm e^{-\frac12q^2}
+ H_n(q)\mathrm e^{-\frac12q^2}(-q) &= 2n H_{n-1}(q)\mathrm e^{-\frac12q^2}
\\
H_n'(q) & =2nH_{n-1}(q);
\end{aligned}
代入递推式 a^*\psi_n=\sqrt {n+1}\psi_{n+1}, 得：
\begin{aligned}
\frac1{\sqrt2}\left(q-\frac{\mathrm d}{\mathrm dq}\right)
\left(\frac{H_n(q)\,\mathrm e^{-\frac12q^2}}{\sqrt{n!\,2^n}}\right)
&= \sqrt {n+1} \left(\frac{H_{n+1}(q)\,\mathrm e^{-\frac12q^2}}{\sqrt{(n+1)!\,2^{n+1}}}\right)
\\
qH_n(q)\mathrm e^{-\frac12q^2} - H_n'(q)\mathrm e^{-\frac12q^2}
- H_n(q)\mathrm e^{-\frac12q^2}(-q) &= H_{n+1}(q)\mathrm e^{-\frac12q^2}
\\
2qH_n(q) - H_n'(q) &= H_{n+1}(q);
\end{aligned}
联立得到不含微分的递推公式为：
H_{n+1}(q)=2qH_n(q) - 2nH_{n-1}(q).
这就是物理学中的 Hermite 多项式.
5. Hermite 多项式的性质
5.1. 边界条件
H_0(x)=1,\ H_1(x)=2x.
5.2. 递推公式
只引用上一元形式（它也导致前后两个多项式的零点都是相互穿插的）：
H_n'(x)=2nH_{n-1}(x).
不含导数形式：
H_{n+1}(x)=2qH_n(x) - 2nH_{n-1}(x).
Hermite 方程：
y''-2xy'+2ny=0.
系数递推公式，其中 H_n(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_{n,i}x^i ：
(i+2)(i+1)a_{n,i+2}-2ia_{n,i}+2na_{n,i}=0.
也就是说，奇数次幂系数和偶数次幂系数是两套独立的递推体系。
5.3. 通项公式
我们设 Hermite 多项式的奇数项只含奇数次幂，偶数项只含偶数次幂，且最高次幂系数为 a_{n,n}=2^n, 那么
\begin{aligned}
a_{2n,2m}&=a_{2n,2n}\frac{(2n)!}{(2m)!}\prod\limits_{i=m}^{n-1}\frac{1}{4(n-i)}
\\&=2^{2m}\frac{(2n)!}{(2m)!}\prod\limits_{i=m}^{n-1}\frac{1}{(n-i)},\\
a_{2n-1,2m-1}&=a_{2n-1,2n-1}\frac{(2n-1)!}{(2m-1)!}\prod\limits_{i=m}^{n-1}\frac1{4(n-i)}
\\&=2^{2m-1}\frac{(2n-1)!}{(2m-1)!}\prod\limits_{i=m}^{n-1}\frac{1}{(n-i)}.
\end{aligned}
H_n(x)=\frac{(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx})^n\mathrm e^{-x^2}}{(-1)^n\mathrm e^{-x^2}}.
而 Hermite 多项式的母函数为
\Psi(t,x)=\mathrm e^{-t^2+2tx}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}H_n(x).
欢迎来到这里！
我们正在构建一个小众社区，大家在这里相互信任，以平等 • 自由 • 奔放的价值观进行分享交流。最终，希望大家能够找到与自己志同道合的伙伴，共同成长。
注册 关于