转子 笔记

角动量的代数结构

经典的质点的角动量定义为

所以量子的角动量依其精神，在直角坐标中定义为

在球坐标中，因为经度$\phi$正好是绕 z 轴旋转的角度，所以利用非交换的平方差公式，定义升子和降子

使得 z 轴向的角动量，模方角动量分别表示为

1. 对易关系

任何两个轴向的角动量都不可交换。利用交换子对加法的分配律，以及不属于同一分量的位置和动量的可交换性，有

因此我们永远无法同时确定粒子的角动量的所有分量。但任何一个轴向的角动量可以和模方角动量交换。

因此我们总是可以同时确定粒子的模方角动量和一个轴向的角动量。

2. 升降子的对易关系

模方角动量与升降子也可交换。

升降子是它们与 z 轴向的角动量的交换子的特征算子。要注意它们的特征值不一样。

升降子不能相互对易，但是交换子得到 z 轴向的角动量，这有助于我们优化模方角动量的展开式为

3. 升降子将特征向量映射到特征向量

设 $\psi$ 是 ${\hat{L}}^2$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量。则 ${\hat{L}}_{+}\psi ,{\hat{L}}_{-}\psi$ 也是特征向量，即

也就是说， ${\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}$ 不改变特征值，是将特征子空间映射到它自己，是特征子空间上的变换。

设 $\psi$ 是 ${\hat{L}}_z$ 的属于 $\mu$ 的特征向量。则 ${\hat{L}}_{+}\psi ,{\hat{L}}_{-}\psi$ 也是特征向量，即

也就是说，${\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}$ 分别将特征值增加和减少 $\hslash$，不再是特征子空间上的变换。这理所当然地造成正交性即

4. 轴向量子化的完备性；磁量子数

同一轴向的角动量和角度是共轭的算子。以 z 轴为例，直接解角动量特征方程

得到待归一的驻波函数

自变量经度 $\phi$ 的周期性，要求 $\psi (\phi )=\psi (\phi +2\pi )$。因此 $\mu$ 必须取 $\hslash$ 的整数倍，即 $\mu =m\hslash$，也就是说，轴向角动量是等差的。

它可以解释 Zeeman 效应。实验观测到：原本的一条谱带，在磁场中分裂为等间距的多条谱带，而且间距和磁场强度成正比。在磁场中，不同的特征轴向角动量可以表现出特征能量的差异，所以具有等差的特征轴向角动量的各量子态，表现为原本相同的能级在磁场中分裂为等差的能级。因此，$m$ 称为磁量子数。

5. 升降子的核空间

我们知道，任何一个轴向角动量的平方都永远不可能超过模方角动量，这是因为其他轴向角动量的平方一定是非负的。

升子不改变模方角动量却能增加 z 轴向角动量，因此它一定存在零化向量（或者更一般的，不可归一化的，因为它的范数也可能是无限大）。

设 $\psi \in \ker {\hat{L}}_{+}$ 即 ${\hat{L}}_{+}\psi =0$，使得这个 $\psi$ 是 ${\hat{L}}_z$ 的属于 $\mu$ 的特征向量，即 ${\hat{L}}_z\psi =\mu \psi$。容易知道，$\mu$ 一定是此时 z 轴向角动量的最正的特征值。此时，也就是升子零化时，模方角动量是可计算的：

也就是说，$\psi$ 是 ${\hat{L}}^2$ 的属于 $\mu (\mu +\hslash )$ 的特征向量。

对称地，降子也存在零化向量。设 $\psi \in \ker {\hat{L}}_{-}$ 使得 ${\hat{L}}_z\psi =\mu \psi$，则特征值 $\mu$ 是最负的，而且

也就是说，降子核空间的 $\psi$ 只要是 ${\hat{L}}_z$ 属于 $\mu$ 的特征向量，就是 ${\hat{L}}^2$ 的属于 $\mu (\mu -\hslash )$ 的特征向量。

因此升降子的核空间具有这样的意义，它将 z 轴向角动量的特征子空间和模方角动量的特征子空间联系在一起。

6. 角量子数；角动量的特征子空间结构

设 ${\psi }_{+}\in \ker {\hat{L}}_{+},{\psi }_{-}\in \ker {\hat{L}}_{-}$ 都属于 ${\hat{L}}^2$ 的同一个特征值 $\lambda$，而且分别属于 ${\hat{L}}_z$ 的特征值 ${\mu }_{+},{\mu }_{-}$。事实上，具有模方角动量且不具有特征 z 轴向角动量的状态很多，比如那些课本上常见的实值波函数，所以不像前面能自动导出，这里需要设出来属于 z 轴向的特征值。

根据升降子的性质，我们很容易知道 ${\mu }_{+},{\mu }_{-}$ 服从方程

以及 ${\mu }_{+}\ge {\mu }_{-}$ ，从而 ${\mu }_{+},{\mu }_{-}$ 互为相反数；再代入轴向量子化的完备性，则有且只有唯一的自然数 $l$，称为角量子数，决定着模方角动量 $\lambda =l(l+1){\hslash }^2$，使得

角量子数 $l$ 跟随着 z 轴向角动量完成量子化，所以模方角动量不是等差的。

任何一个拥有模方角动量和 z 轴向角动量的特征值，且 z 轴向角动量的平方小于模方角动量的量子态，都是存在的，也就是说，只要 $|m|\le l$，总可以用 $|l,m⟩$ 来表示转子的具有特定角动量状态的波函数，$|l,m⟩$ 一定存在。实际体系有的势场是和角度分布无关的，只与极径有关。所以 $Y_{l,m}=|l,m⟩$ 也可以表示此时的角度分布函数，又称球谐函数。

模方角动量的每一个属于 $l(l+1){\hslash }^2$ 的特征子空间，都是 $2l+1$ 维的，而且存在这样的一组正交基，基向量 $|l,m⟩$ 都是 z 轴角动量的特征向量，而且分属于不同的特征值 $m\hslash$。也就是说，“对于每一个给定的 $l$，$m$ 有 $2l+1$ 个不同的值。”

我们可以做一个验算：如果 ${\psi }_{+},{\psi }_{-}$ 是同系的，即可以经过升降子的有限次作用后相互表示，那么

其中 $A_{+},A_{-}$ 是归一化系数，如果 ${\psi }_{+},{\psi }_{-}$ 都取单位向量。这样以后，得出来的结果是，$l=\frac{1}{2}N$ ，即角量子数是整数或者半整数。这是同系条件所得到的限制，同系条件略宽松于轴向量子化条件，所以它能容纳半整数结果，并因而引出所谓的自旋。

7. 角量子数的升降子

设方向算子 $\hat{N}=\frac{\hat{r}}{|r|}$ 。然后定义角升子和角降子

或者，把所有角动量的量纲去掉，即

然后我们可以得到一些对易关系，并且进而得到

并且得到相应的递推关系

当然，$\hat{Q}$ 的核空间中含有 $|0,0⟩$。

球谐函数的分析求解

前面取巧，用广义坐标的原理得到了 ${\hat{L}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \phi }$。可以证明（？），

……

1. $|l,l⟩$ 的波函数的取得

首先作为核空间的向量 $|0,0⟩$，代入零化方程 $\hat{Q}|0,0⟩=0$，然后由此出发，反复用角升子作用，得到：

2. 其他具有更低磁量子数的波函数的取得

从 $|l,l⟩$ 开始，反复用 ${\hat{L}}_{-}$ 作用即可。此外还有别的递推公式。从略。