例如：已知 \sin \frac\pi6 = \frac12, \cos \frac\pi6 = \frac{\sqrt3} 2，求 \sin \frac{3\pi}{20}, \cos \frac{3\pi}{20} (\frac{3\pi}{20} =\frac{\pi}6 - \frac{\pi}{60}) 。
在弧度制下 \sin' = \cos, \cos' = - \sin。所以估值不等式有
\cos \frac{3\pi}{20} \ge \frac{\sin \frac{3\pi}{20}-\sin\frac{\pi}{6}}{\frac{3\pi}{20}-\frac{\pi}{6}} \ge \cos \frac\pi6
移项，得
\cos \frac{3\pi}{20}- \cos \frac\pi6
\ge \frac{\sin \frac{3\pi}{20}-\sin\frac{\pi}{6}}{\frac{3\pi}{20}-\frac{\pi}{6}}-\cos \frac\pi6 \ge 0
\left(\cos \frac{3\pi}{20}- \cos \frac\pi6\right)
\left(\frac{3\pi}{20}-\frac{\pi}{6}\right)
\le {\sin \frac{3\pi}{20}-\sin\frac{\pi}{6}}{}-\cos \frac\pi6
\left(\frac{3\pi}{20}-\frac{\pi}{6}\right) \le 0
左边对误差界的计算注意到有余弦的差分，于是余弦的估值不等式有
-\sin \frac{3\pi}{20} \ge \frac{\cos \frac{3\pi}{20}-\cos\frac{\pi}{6}}{\frac{3\pi}{20}-\frac{\pi}{6}} \ge -\sin \frac\pi6
回代，小心不等号的方向，从而
\left(\cos \frac{3\pi}{20}- \cos \frac\pi6\right)
\left(\frac{3\pi}{20}-\frac{\pi}{6}\right) =
\frac{\cos \frac{3\pi}{20}-\cos\frac{\pi}{6}}{\frac{3\pi}{20}-\frac{\pi}{6}}
\left(\frac{3\pi}{20}-\frac{\pi}{6}\right) ^2 \ge
-\frac12 \frac{\pi^2}{60^2} \approx -0.0014
即有效数字大约两到三位，从而代入 \pi \approx \frac{22}7, \sqrt{3} \approx \frac{7}{4}（都很粗略！），右半边表明估计值 \sin \frac{3\pi}{20} \le \frac12 - \frac{\sqrt 3}2 \frac{\pi}{60} \approx \frac{109}{240}= 0.4541\dot 6 。事实上 \sin \frac{3\pi}{20} = \frac14 \sqrt{8 -\sqrt{8(5-\sqrt{5})}}\approx 0.45399\cdots，估计的十分良好。
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