2 湍流

背景

湍流是具有广泛涡旋尺寸谱和相应波动频率谱的涡旋运动。

湍流具有如下特征：旋转、间歇性（intermittent）、高度无序性、扩散性（diffusive）、耗散性（dissipative）。

湍流可用纳维-斯托克斯动量方程描述。

最大的涡旋（低频波动）的形式通常由边界决定，最小涡旋（最高频波动）的形式由粘性力决定。

湍流的起源

有如下几种典型的空气流动状态：

库埃特流（couette flow）：两块平行板，其中一块板以恒定速度，相对另一块板移动，导致流体在黏性作用下被拖曳，形成剪切流动。
层流状态下，速度沿垂直于板的方向线性分布。
通道流（channel flow）：两块固定的平行板之间，由压力梯度驱动的流动。
稳态层流条件下，速度沿垂直于板的方向，呈抛物线形分布。
边界层流动：流体在固体壁面附近，由于黏性作用，速度从 0（壁面处的无滑移条件）逐渐增大到自由流速度。
垂直于壁面的速度梯度很大。

有以下 3 种典型的湍流状态：

射流（jet）：高速流体通过喷口或开口，进入静止或慢速环境时，由于喷口附近存在较大的速度差/速度梯度，该梯度引发了不确定性，在周围环境中产生剪切应力，导致湍流发展。
如吹风机吹出的高速气流进入周围空气中。
混合层（mixing layer）：两股速度不同的平行流体之间的过渡区域中，由于速度差异，产生速度梯度，导致不确定性，产生滚动的涡结构，最终演化为湍流。
大尺度的涡卷促进两股流体的混合。
如打开教室门，外面的气压略高于里面的，有气流从教室外涌入，形成混合层。
尾流（wake）：当流体绕过物体时，由于边界层分离和压力梯度，物体后方形成低压区和涡流结构，产生尾流湍流。
卡门涡街出现，涡旋交替脱落；尾流中的不稳定涡流导致压力脉动；尾流区域平均速度低于自由流速度。
如桥梁的桥墩在水流中产生尾流湍流，形成涡街。

时间平均雷诺方程

给定一物理量\varphi(t)，该物理量可代表流体的速度、压力等，其在时间上的均值（或稳态分量）为\Phi(t)，随时间波动的扰动分量为\varphi ^{'}。

\Phi=\frac{1}{T}\int_0^T\varphi(t)dt

\overline{\varphi^{\prime}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\varphi^{\prime}(t)dt\equiv0

将\varphi(t)分解为时间平均 + 扰动分量：

\varphi = \Phi + \varphi ^{'}

给定另一物理量\psi (t)，其稳态分量为\Psi (t)，随时间波动的扰动分量为\psi ^{'}。

分解方法同上，有\psi = \Psi + \psi ^{'}。

在时间平均过程中，定义如下规则：

\overline{\varphi^\prime}=\overline{\psi^\prime}=0
波动量是关于平均值的偏差，长时间而言，这些偏差的正负相互抵消，结果为 0.
\bar{\Phi}=\Phi
稳态分量的时间平均值始终等于其本身。
\frac{\partial\overline{\varphi}}{\partial s}=\frac{\overline{\partial\varphi}}{\partial s}
左边意为先对物理量\varphi进行时间平均，再对其结果进行空间导数（这里的 s 不是拉普拉斯变换，而代表空间）；
右边意为先对\varphi进行空间导数运算，再对导数结果进行时间平均。
该规则意味着空间导数与时间平均操作是可以互换的。
\overline{\int\varphi ds}=\int\Phi ds
类似条目 3，空间积分操作和时间平均操作的先后顺序可以互换。
\overline{\varphi+\psi}=\overline\varphi+\overline\psi
时间平均值的和等于各分量平均值的和。
\overline{\varphi^{\prime}\psi}=0
波动量和稳态量乘积的平均值为 0，表明波动量对稳态量没有显著影响。
雷诺分解：

\begin{aligned} \overline{\varphi(t)\psi(t)} &= \frac{1}{T} \int_0^T \varphi(t)\psi(t)dt\\ &= \frac{1}{T} (\Phi+\varphi^{'})(\Psi+\psi^{'})dt\\ &= \frac{1}{T} (\Phi\cdot \psi+\Phi \cdot \psi^{'}+\varphi^{'}\Psi+\varphi^{'}\psi^{'})dt\\ &= \frac{1}{T} (\Phi\cdot \psi+\varphi^{'}\psi^{'})dt\\ &= \Phi \Psi + \overline{\varphi^{'}(t)\psi^{'}(t)} \end{aligned}

看到最后的式子，其中\Phi \Psi反映了两个变量的稳态之间的相互作用，\overline{\varphi^{'}(t)\psi^{'}(t)}量化的湍流引起的额外相互作用。

注意，从步骤 1 到步骤 2 的拆括号，是将物理量分解为平均值和波动分量；
从步骤 3 到步骤 4 的消元，是因为我们认为波动分量的时间平均值为 0。
梯度和散度：
- 梯度描述一个标量场在空间中变化的最快方向和速率。
  对于一个标量场\varphi(x,y,z)：
  
  \nabla\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)
- 散度表示向量场在各个方向上的变化和，描述一个向量场的“发散”程度，或者说这个场是否有源头或汇集。
  对于一个向量场\mathrm{u(x,~y,~z)~=~(u_x,~u_y,~u_z)}：
  
  \nabla\cdot\mathbf{u}=\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}
- 散度的时间平均：
  
  \overline{\nabla\cdot u}=\nabla\cdot\boldsymbol{U}
  
  时间平均操作下，向量场 u 的散度等于其平均场 U 的散度，即平均流动下，向量场的发散性没有因为波动部分而改变。
- 质量守恒定律的时间平均应用：
  
  \overline{\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{u})}=\nabla\cdot\overline{(\varphi\boldsymbol{u})}=\nabla\cdot(\Phi\boldsymbol{U})+\nabla\cdot\overline{\varphi^{\prime}}\overline{\boldsymbol{u}^{\prime}}
  
  物理量标量场和速度场的乘积的散度，可以分解为平均值部分和波动部分。即使考虑到平均流动，也不能忽略波动部分对流动的影响。
- 梯度的时间平均操作：
  
  \overline{\nabla\cdot\nabla\varphi}=\nabla\cdot\nabla\Phi
  
  一个标量场的时间平均值的梯度，等于该标量场平均值的梯度。即标量场的梯度只与其平均值有关，波动部分在平均后对整体物理量变化没有影响。

雷诺平均处理速度场

根据雷诺分解，一个瞬时速度可以被分解为平均速度和波动速度的和。

u(t)=\overline{U}+u'

计算时间平均速度：

\bar{u}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}udt

波动部分的时间平均值为零：

\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}\boldsymbol{u}^{\prime}dt=\overline{\boldsymbol{u}^{\prime}}=0

若考虑所有三个速度分量，则有：

\overline{u^{\prime}}=\overline{v^{\prime}}=\overline{w^{\prime}}=0

连续性方程

在不可压缩流动中，速度场的散度为 0，流体体积保持不变，流入和流出的速度平衡。连续性方程描述了这一现象。

\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0

通过雷诺平均，将速度分量分解为平均速度和波动速度，代入连续性方程中，并对每一项进行时间平均：

\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}\left(\frac{\partial(\overline{U}+u')}{\partial x}+\frac{\partial(\overline{V}+v')}{\partial y}+\frac{\partial(\overline{W}+w')}{\partial z}\right)dt=0

从这一步可得：

\frac{\overline{\partial\bar{U}}}{\partial x}+\frac{\overline{\partial u^{\prime}}}{\partial x}+\frac{\overline{\partial\bar{V}}}{\partial y}+\frac{\overline{\partial v^{\prime}}}{\partial y}+\frac{\overline{\partial\bar{W}}}{\partial z}+\frac{\overline{\partial w^{\prime}}}{\partial z}=0

注意，波动项对最终结果没有贡献，故：

\frac{\partial\overline{U}}{\partial x}+\frac{\partial\overline{V}}{\partial y}+\frac{\partial\overline{W}}{\partial z}=0

这表明，即使在湍流中，平均速度场仍然必须满足不可压缩流体的连续性方程。

湍流中的动量输运

考虑一个体积为\delta x \delta y \delta z的小流体单元，设动量在 x 方向上的输运量为M_{xx}。

注意：动量的输运量=质量流量*流速

关于质量流量：
1. 速度 u 表示流体在 x 方向上，单位时间内，流体移动的距离。
  流体在单位时间内，通过截面积\delta y \delta z的体积是u\delta y \delta z，这就是体积流量。
2. 密度\rho表示单位体积内的质量，反映了流体的浓度。
  体积流量乘以密度，就得到了质量流量。

M_{xx}=(\rho u \delta y \delta z)u=\rho u^2 \delta y \delta z

平均动量输运\bar{M_{xx}}是通过单位表面积的平均动量通量，可表示为：

\bar{M}_{xx}=\rho(\bar{U}^2+\overline{(u^{\prime})^2})

这里相当于把上面的\delta y \delta z消掉，然后把 u 拆成平均量和波动量；同时使用了波动量和平均量乘积为 0 的规则，得到该方程。

湍流是混乱、随机、多尺度的运动，流体粒子会在各个方向上产生不规则的运动。因此，在流体的湍流中，动量不仅沿着主流动方向输运，还会因为其他方向的流体运动（脉动速度），产生动量的传递。

让我们讨论 y 方向上的速度 v 引起的质量流量，对 x 方向动量的贡献，记为M_{xy}（在垂直于 y 轴的表面上的 x 方向动量，如经过上图的 xz 表面中心，有一个进入流体小块的速度，对图中已有的速度产生影响）：

\begin{aligned} M_{xy}& =(\rho v\delta x\delta z)u \\ &=\rho\delta x\delta zvu \\ &= \rho\delta x\delta z(\bar{V}+v')(\overline{U}+u') \\ &=\rho\delta x\delta z(\bar{V} \bar{U}+\bar{V}u'+\bar{U}v'+v'u')\\ &= \rho\delta x\delta z(\bar{V} \bar{U}+v'u') \end{aligned}

N-S 方程的时间平均

雷诺代数

笛卡尔张量指数表示：用符号x_i表示空间坐标，其中i=1,~2,~3分别对应 x, y, z 方向
爱因斯坦求和约定：当一个表达式出现重复的索引时，隐含着对该索引从 1 到 3 的求和。如：关于连续性方程的表达式

\frac{\partial U_i}{\partial x_i}=0

根据求和约定，该表达式等于：

\frac{\partial U_1}{\partial x_1}+\frac{\partial U_2}{\partial x_2}+\frac{\partial U_3}{\partial x_3}=0

这样有利于将多个方向上的求和操作，简化为单个紧凑的表达式。
对流（convection）项的表示：

U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j}=\sum_{j=1}^3U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j}=U_1 \frac{\partial U_i}{\partial x_1}+U_2 \frac{\partial U_i}{\partial x_2}+U_3 \frac{\partial U_i}{\partial x_3}=0

对流项描述了流体质点由于自身运动，和速度场的空间变化共同作用，叠加引起的速度变化。
假设有一条河，我们在河里划船，河水的流速在不同位置有所变化。
U_j表示自身划船的速度；\frac{\partial U_i}{\partial x_j}表示河流在不同位置的水流速度不同，即河水流速在空间中的变化。

应用雷诺代数：N-S 方程

==应力张量==：描述流体内部因应变产生的力，包括压力和粘性剪应力的贡献。

\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+2\mu s_{ij}

其中：
- p 表示瞬时压力
- \delta_{ij}是克罗内克符号，用于表示单位矩阵的元素，即当i=j时，\delta_{ij}=1，否则该符号表示的数为 0
- -p\delta_{ij}代表流体内部，由于静压力 p 引起的正应力（法向应力），它的作用垂直于流体微元的表面，导致流体受到压缩或膨胀。该压力各向同性。负号表示流体微元受到周围流体的挤压。
- \mu是动力粘度，描述了流体的粘性性质
- s_{ij}是应变速率张量，描述了流体速度场的对称梯度，定义为：
  
  S_{ij}=\frac{\partial U_i}{\partial x_j}
  
  s_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)
- $2\mu s_{ij}$ 反映了流体层之间，由于相对运动产生的内部摩擦力，它与速度梯度成正比，即流体流动越剧烈，产生的内部摩擦力越大。
分解应力张量：

s_{ij}=S_{ij}+s_{ij}'

其中S_{ij}表示平均应变速率，即对应于时间平均流场的变形速率；
s_{ij}^{'}表示脉动应变速率，描述湍流中瞬时流场相对于平均流场的变化。
总应力张量\sigma_{ij}也被分解为：

\sigma_{ij}=\Sigma_{ij}+\sigma_{ij}^{\prime}
==雷诺平均 N-S 方程==：

原 N-S 方程为：

\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}=-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x_i}+\nu\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+g_i

其中：

\frac{\partial u_i}{\partial t}是局部加速度，表示流体速度在固定空间位置上，随时间的变化率；
u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}是对流加速度，表示由于流体在空间中移动，速度随着位置的变化导致的加速度。
-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x_i}是压力梯度力，表示流体受到的力推动其由高压区域流向抵押区域，是流体运动的主要驱动力之一；
\nu\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}（这里\nu=\frac{\mu}{\rho}念 nu，是动力粘度系数）是粘性扩散项，表示流体内部由于粘性产生摩擦力，抵抗流体的变形和流动，起到能量耗散作用；
g_i表示作用在流体上的外部力，如重力、磁力等。
整个方程左侧是加速度，右侧是合力/质量，体现了牛顿第二定律。

推导 RANS 下的 N-S 方程：

将瞬时变量分解为时间平均值和波动值的和：

u_i=U_i+u_i',~p=P+p'

u 代表速度，p 代表静压。
将上述分解代入原方程，得：

\frac{\partial(U_i+u_i')}{\partial t}+(U_j+u_j')\frac{\partial(U_i+u_i')}{\partial x_j}=-\frac1\rho\frac{\partial(P+p')}{\partial x_i}+\nu\frac{\partial^2(U_i+u_i')}{\partial x_j\partial x_j}+g_i
分别计算各项的时间平均：

利用以下性质：空间导数与时间平均操作是可以互换的；波动量的时间平均为 0；波动量乘积的时间平均不一定为 0.
- 左边第一项（非稳项，局部加速度）：
  
  \frac{\partial(U_i+u_i')}{\partial t}=\frac{\partial U_i}{\partial t}
- 左边第二项（对流项）：先展开。
  
  \overline{(U_j+u_j')\frac{\partial(U_i+u_i')}{\partial x_j}}=U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\overline{u_j'\frac{\partial U_i}{\partial x_j}}+U_j\overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}}+\overline{u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}}
  
  考虑波动量的时间平均为 0，对流项展开后变成：
  
  U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\overline{u_j^\prime\frac{\partial u_i^\prime}{\partial x_j}}
  
  关于其中的项\overline{u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}}，我们进行如下推导：
  1. 根据莱布尼茨法则，有：
    
    \frac d{dx}(f(x)g(x))=f(x)\frac{dg}{dx}+g(x)\frac{df}{dx}
    
    反向利用一次，我们可以得到：
    
    u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}(u_i'u_j')-u_i'\frac{\partial u_j'}{\partial x_j}
  2. 考虑不可压缩流动：
    利用雷诺分解，已经有：
    
    \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=\frac{\partial(U_i+u_i^\prime)}{\partial x_i}=\frac{\partial U_i}{\partial x_i}+\frac{\partial u_i^\prime}{\partial x_i}=0
    
    在稳态、不可压缩流动中，平均速度场是无散的：
    
    \frac{\partial U_i}{\partial x_i}=0
    
    故：
    
    \frac{\partial u_i^\prime}{\partial x_i}=0
    
    u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}(u_i'u_j')
  3. 在时间平均（或称为统计稳态）条件下，平均值运算和空间导数可以交换。最终可得：
    
    \overline{u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}}=\frac{\partial}{\partial x_j}\overline{u_i'u_j'}
  4. 最终的对流项为：
    
    U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\frac{\partial}{\partial x_j}\overline{u_i'u_j'}
- 右边第一项（压力梯度项）：
  
  -\frac{1}{\rho}\frac{\overline{\partial(P+p^{\prime})}}{\partial x_{i}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_{i}}
- 右边第二项（粘性扩散项）：
  
  \nu\frac{\overline{\partial^2(U_i+u_i')}}{\partial x_j\partial x_j}=\nu\frac{\partial^2U_i}{\partial x_j\partial x_j}+\nu\overline{\frac{\partial^2u_i'}{\partial x_j\partial x_j}}
  
  注意：通常，波动项的粘性扩散相对于湍流对流可以忽略，或在湍流模型中处理。也就是说，该等式右边第二项在这里先忽略不计。
将上述时间平均后的项组合起来：

\frac{\partial U_i}{\partial t}+U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}=-\frac1\rho\frac{\partial P}{\partial x_i}+\nu\frac{\partial^2U_i}{\partial x_j\partial x_j}-\frac\partial{\partial x_j}\overline{u_i^{\prime}u_j^{\prime}}+g_i
引入雷诺应力张量：我们将等式右边的压力梯度项和粘性项统一，综合写成应力张量的散度形式。
定义粘性应力张量为：

\tau_{ij}=2\mu S_{ij}

其中，应变率张量S_{ij}定义为：S_{ij}=\frac12\left(\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\frac{\partial U_j}{\partial x_i}\right)
我们将粘性应力对第 i 个方向的作用，表示为粘性应力张量的散度，并假设\mu为常数：

\begin{aligned} \frac{\partial\tau_{ij}}{\partial x_j}&=\frac{\partial}{\partial x_j}(2\mu S_{ij})\\ &=\mu\left(\frac{\partial^2U_i}{\partial x_j\partial x_j}+\frac\partial{\partial x_j}\frac{\partial U_j}{\partial x_i}\right) \end{aligned}

由于\frac{\partial U_j}{\partial x_j}=0（连续性方程），粘性应力张量的散度简化为：

\frac{\partial\tau_{ij}}{\partial x_j}=\mu\frac{\partial^2U_i}{\partial x_j\partial x_j}
定义关于压力和粘性应力的总应力张量为：

\sigma_{ij}=-P\delta_{ij}+\tau_{ij}=-P\delta_{ij}+2\mu S_{ij}

\frac1\rho\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j}=\frac1\rho\frac\partial{\partial x_j}(-P\delta_{ij}+2\mu S_{ij})
最终得到的时间平均 N-S 方程为：

\frac{\partial U_i}{\partial t}+U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}=\frac1\rho\frac\partial{\partial x_j}\left(-P\delta_{ij}+2\mu S_{ij}-\overline{\rho u_i^{\prime}u_j^{\prime}}\right)+g_i

雷诺应力

雷诺应力描述湍流的脉动对平均应力张量的贡献。
脉动即波动。

\tau_{ij}=-\rho\overline{u_i'u_j'}

其中，\overline{u_i'u_j'}是脉动速度分量的时间平均的乘积，代表两个方向上速度脉动的协方差。

协方差用于度量两个随机变量之间的线性相关性，这里定义为：

\mathrm{Cov}(u_i',u_j')=\overline{u_i'u_j'}

当协方差为正时，表示当u_i'偏离平均值为正时，u_j'也倾向于偏正；

当协方差为负时，表示两个脉动分量倾向于朝相反方向，偏离平均值；

当协方差为 0 时，表示两个脉动分量之间没有线性关联。

将其展开为矩阵形式：

\tau_{ij}=-\rho\begin{bmatrix}\overline{u_1'u_1'}&\overline{u_1'u_2'}&\overline{u_1'u_3'}\\\overline{u_2'u_1'}&\overline{u_2'u_2'}&\overline{u_2'u_3'}\\\overline{u_3'u_1'}&\overline{u_3'u_2'}&\overline{u_3'u_3'}\end{bmatrix}

其中，主对角线上的项表示沿各个方向的湍流动能（即脉动速度的方差），反映了湍流强度在相应方向上的大小；

非主对角线上的项表示不同方向上，脉动速度间的关联（或协方差），描述湍流中不同方向之间的相互耦合和动量交换。

对于笛卡尔坐标系（用 u，v，w 表示 x，y，z 方向上的流体速度），雷诺应力的矩阵形式可转化为：

\tau_{ij}=-\rho\begin{bmatrix}\overline{u^{\prime2}}&\overline{u^{\prime}v^{\prime}}&\overline{u^{\prime}w^{\prime}}\\\overline{v^{\prime}u^{\prime}}&\overline{v^{\prime2}}&\overline{v^{\prime}w^{\prime}}\\\overline{w^{\prime}u^{\prime}}&\overline{w^{\prime}v^{\prime}}&\overline{w^{\prime2}}\end{bmatrix}

几个重要问题：

从物理角度，雷诺应力反映了湍流中通过脉动速度所引起的动量通量，其中：
- 主对角线上的项描述了湍流如何在流动的主方向上增加流体的能量；
- 非主对角线上的项描述湍流如何在不同方向上互相影响，这些项直接影响了湍流的旋转和剪切特性。
为什么雷诺应力会有负号：
它表示湍流的脉动对平均流动的减速作用，由于在湍流中，脉动脉动引起的动量传递，会对平均速度场施加额外的阻力。
湍流封闭问题（closure problem）：
引入雷诺应力项使得 RANS 方程组不能直接求解，因为\overline{u_i'u_j'}是新的未知量，此时方程的未知量多于方程数量。
为了求解 RANS 方程，需要借助湍流模型近似这些应力。

‍

背景

湍流的起源

时间平均雷诺方程

雷诺平均处理速度场

连续性方程

湍流中的动量输运

N-S 方程的时间平均

雷诺代数

应用雷诺代数：N-S 方程

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