背景
湍流是具有广泛涡旋尺寸谱和相应波动频率谱的涡旋运动。
湍流具有如下特征：旋转、间歇性（intermittent）、高度无序性、扩散性（diffusive）、耗散性（dissipative）。
湍流可用纳维-斯托克斯动量方程描述。
最大的涡旋（低频波动）的形式通常由边界决定，最小涡旋（最高频波动）的形式由粘性力决定。
湍流的起源
有如下几种典型的空气流动状态：
- 库埃特流（couette flow）：两块平行板，其中一块板以恒定速度，相对另一块板移动，导致流体在黏性作用下被拖曳，形成剪切流动。
层流状态下，速度沿垂直于板的方向线性分布。
- 通道流（channel flow）：两块固定的平行板之间，由压力梯度驱动的流动。
稳态层流条件下，速度沿垂直于板的方向，呈抛物线形分布。
- 边界层流动：流体在固体壁面附近，由于黏性作用，速度从0（壁面处的无滑移条件）逐渐增大到自由流速度。
垂直于壁面的速度梯度很大。
有以下3种典型的湍流状态：
- 射流（jet）：高速流体通过喷口或开口，进入静止或慢速环境时，由于喷口附近存在较大的速度差/速度梯度，该梯度引发了不确定性，在周围环境中产生剪切应力，导致湍流发展。
如吹风机吹出的高速气流进入周围空气中。
- 混合层（mixing layer）：两股速度不同的平行流体之间的过渡区域中，由于速度差异，产生速度梯度，导致不确定性，产生滚动的涡结构，最终演化为湍流。
大尺度的涡卷促进两股流体的混合。
如打开教室门，外面的气压略高于里面的，有气流从教室外涌入，形成混合层。
- 尾流（wake）：当流体绕过物体时，由于边界层分离和压力梯度，物体后方形成低压区和涡流结构，产生尾流湍流。
卡门涡街出现，涡旋交替脱落；尾流中的不稳定涡流导致压力脉动；尾流区域平均速度低于自由流速度。
如桥梁的桥墩在水流中产生尾流湍流，形成涡街。
时间平均雷诺方程
给定一物理量$\varphi(t)$，该物理量可代表流体的速度、压力等，其在时间上的均值（或稳态分量）为$\Phi(t)$，随时间波动的扰动分量为$\varphi ^{'}$。
$$
\Phi=\frac{1}{T}\int_0^T\varphi(t)dt
$$
$$
\overline{\varphi^{\prime}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\varphi^{\prime}(t)dt\equiv0
$$
将$\varphi(t)$分解为时间平均+扰动分量：
$$
\varphi = \Phi + \varphi ^{'}
$$
给定另一物理量$\psi (t)$，其稳态分量为$\Psi (t)$，随时间波动的扰动分量为$\psi ^{'}$。
分解方法同上，有$\psi = \Psi + \psi ^{'}$。
在时间平均过程中，定义如下规则：
-
$\overline{\varphi^\prime}=\overline{\psi^\prime}=0$
波动量是关于平均值的偏差，长时间而言，这些偏差的正负相互抵消，结果为0. -
$\bar{\Phi}=\Phi$
稳态分量的时间平均值始终等于其本身。 -
$\frac{\partial\overline{\varphi}}{\partial s}=\frac{\overline{\partial\varphi}}{\partial s}$
左边意为先对物理量$\varphi$进行时间平均，再对其结果进行空间导数（这里的s不是拉普拉斯变换，而代表空间）；
右边意为先对$\varphi$进行空间导数运算，再对导数结果进行时间平均。
该规则意味着空间导数与时间平均操作是可以互换的。 -
$\overline{\int\varphi ds}=\int\Phi ds$
类似条目3，空间积分操作和时间平均操作的先后顺序可以互换。 -
$\overline{\varphi+\psi}=\overline\varphi+\overline\psi$
时间平均值的和等于各分量平均值的和。 -
$\overline{\varphi^{\prime}\psi}=0$
波动量和稳态量乘积的平均值为0，表明波动量对稳态量没有显著影响。 -
雷诺分解：
$$
\begin{aligned}
\overline{\varphi(t)\psi(t)}
&= \frac{1}{T} \int_0^T \varphi(t)\psi(t)dt\
&= \frac{1}{T} (\Phi+\varphi^{'})(\Psi+\psi^{'})dt\
&= \frac{1}{T} (\Phi\cdot \psi+\Phi \cdot \psi^{'}+\varphi^{'}\Psi+\varphi^{'}\psi^{'})dt\
&= \frac{1}{T} (\Phi\cdot \psi+\varphi^{'}\psi^{'})dt\
&= \Phi \Psi + \overline{\varphi^{'}(t)\psi^{'}(t)}
\end{aligned}
$$看到最后的式子，其中$\Phi \Psi$反映了两个变量的稳态之间的相互作用，$\overline{\varphi^{'}(t)\psi^{'}(t)}$量化的湍流引起的额外相互作用。
注意，从步骤1到步骤2的拆括号，是将物理量分解为平均值和波动分量；
从步骤3到步骤4的消元，是因为我们认为波动分量的时间平均值为0。 -
梯度和散度：
-
梯度描述一个标量场在空间中变化的最快方向和速率。
对于一个标量场$\varphi(x,y,z)$：$$
\nabla\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)
$$ -
散度表示向量场在各个方向上的变化和，描述一个向量场的“发散”程度，或者说这个场是否有源头或汇集。
对于一个向量场$\mathrm{u(x,~y,~z)~=~(u_x,~u_y,~u_z)}$：$$
\nabla\cdot\mathbf{u}=\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}
$$ -
散度的时间平均：
$$
\overline{\nabla\cdot u}=\nabla\cdot\boldsymbol{U}
$$时间平均操作下，向量场u的散度等于其平均场U的散度，即平均流动下，向量场的发散性没有因为波动部分而改变。
-
质量守恒定律的时间平均应用：
$$
\overline{\nabla\cdot(\varphi\boldsymbol{u})}=\nabla\cdot\overline{(\varphi\boldsymbol{u})}=\nabla\cdot(\Phi\boldsymbol{U})+\nabla\cdot\overline{\varphi^{\prime}}\overline{\boldsymbol{u}^{\prime}}
$$物理量标量场和速度场的乘积的散度，可以分解为平均值部分和波动部分。即使考虑到平均流动，也不能忽略波动部分对流动的影响。
-
梯度的时间平均操作：
$$
\overline{\nabla\cdot\nabla\varphi}=\nabla\cdot\nabla\Phi
$$一个标量场的时间平均值的梯度，等于该标量场平均值的梯度。即标量场的梯度只与其平均值有关，波动部分在平均后对整体物理量变化没有影响。
-
雷诺平均处理速度场
根据雷诺分解，一个瞬时速度可以被分解为平均速度和波动速度的和。
$$
u(t)=\overline{U}+u'
$$
计算时间平均速度：
$$
\bar{u}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}udt
$$
波动部分的时间平均值为零：
$$
\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}\boldsymbol{u}^{\prime}dt=\overline{\boldsymbol{u}^{\prime}}=0
$$
若考虑所有三个速度分量，则有：
$$
\overline{u^{\prime}}=\overline{v^{\prime}}=\overline{w^{\prime}}=0
$$
连续性方程
在不可压缩流动中，速度场的散度为0，流体体积保持不变，流入和流出的速度平衡。连续性方程描述了这一现象。
$$
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
$$
通过雷诺平均，将速度分量分解为平均速度和波动速度，代入连续性方程中，并对每一项进行时间平均：
$$
\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}\left(\frac{\partial(\overline{U}+u')}{\partial x}+\frac{\partial(\overline{V}+v')}{\partial y}+\frac{\partial(\overline{W}+w')}{\partial z}\right)dt=0
$$
从这一步可得：
$$
\frac{\overline{\partial\bar{U}}}{\partial x}+\frac{\overline{\partial u^{\prime}}}{\partial x}+\frac{\overline{\partial\bar{V}}}{\partial y}+\frac{\overline{\partial v^{\prime}}}{\partial y}+\frac{\overline{\partial\bar{W}}}{\partial z}+\frac{\overline{\partial w^{\prime}}}{\partial z}=0
$$
注意，波动项对最终结果没有贡献，故：
$$
\frac{\partial\overline{U}}{\partial x}+\frac{\partial\overline{V}}{\partial y}+\frac{\partial\overline{W}}{\partial z}=0
$$
这表明，即使在湍流中，平均速度场仍然必须满足不可压缩流体的连续性方程。
湍流中的动量输运
考虑一个体积为$\delta x \delta y \delta z$的小流体单元，设动量在x方向上的输运量为$M_{xx}$。
注意：动量的输运量=质量流量*流速
-
关于质量流量：
- 速度u表示流体在x方向上，单位时间内，流体移动的距离。
流体在单位时间内，通过截面积$\delta y \delta z$的体积是$u\delta y \delta z$，这就是体积流量。 - 密度$\rho$表示单位体积内的质量，反映了流体的浓度。
体积流量乘以密度，就得到了质量流量。
- 速度u表示流体在x方向上，单位时间内，流体移动的距离。
$$
M_{xx}=(\rho u \delta y \delta z)u=\rho u^2 \delta y \delta z
$$
平均动量输运$\bar{M_{xx}}$是通过单位表面积的平均动量通量，可表示为：
$$
\bar{M}_{xx}=\rho(\bar{U}^2+\overline{(u^{\prime})^2})
$$
这里相当于把上面的$\delta y \delta z$消掉，然后把u拆成平均量和波动量；同时使用了波动量和平均量乘积为0的规则，得到该方程。
湍流是混乱、随机、多尺度的运动，流体粒子会在各个方向上产生不规则的运动。因此，在流体的湍流中，动量不仅沿着主流动方向输运，还会因为其他方向的流体运动（脉动速度），产生动量的传递。
让我们讨论y方向上的速度v引起的质量流量，对x方向动量的贡献，记为$M_{xy}$（在垂直于y轴的表面上的x方向动量，如经过上图的xz表面中心，有一个进入流体小块的速度，对图中已有的速度产生影响）：
$$
\begin{aligned}
M_{xy}& =(\rho v\delta x\delta z)u \
&=\rho\delta x\delta zvu \
&= \rho\delta x\delta z(\bar{V}+v')(\overline{U}+u') \
&=\rho\delta x\delta z(\bar{V} \bar{U}+\bar{V}u'+\bar{U}v'+v'u')\
&= \rho\delta x\delta z(\bar{V} \bar{U}+v'u')
\end{aligned}
$$
N-S方程的时间平均
雷诺代数
-
笛卡尔张量指数表示：用符号$x_i$表示空间坐标，其中$i=1,~2,~3$分别对应x, y, z方向
-
爱因斯坦求和约定：当一个表达式出现重复的索引时，隐含着对该索引从1到3的求和。如：关于连续性方程的表达式
$$
\frac{\partial U_i}{\partial x_i}=0
$$根据求和约定，该表达式等于：
$$
\frac{\partial U_1}{\partial x_1}+\frac{\partial U_2}{\partial x_2}+\frac{\partial U_3}{\partial x_3}=0
$$这样有利于将多个方向上的求和操作，简化为单个紧凑的表达式。
-
对流（convection）项的表示：
$$
U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j}=\sum_{j=1}^3U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j}=U_1 \frac{\partial U_i}{\partial x_1}+U_2 \frac{\partial U_i}{\partial x_2}+U_3 \frac{\partial U_i}{\partial x_3}=0
$$对流项描述了流体质点由于自身运动，和速度场的空间变化共同作用，叠加引起的速度变化。
假设有一条河，我们在河里划船，河水的流速在不同位置有所变化。
$U_j$表示自身划船的速度；$\frac{\partial U_i}{\partial x_j}$表示河流在不同位置的水流速度不同，即河水流速在空间中的变化。
应用雷诺代数：N-S方程
-
==应力张量==：描述流体内部因应变产生的力，包括压力和粘性剪应力的贡献。
$$
\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+2\mu s_{ij}
$$其中：
-
p表示瞬时压力
-
$\delta_{ij}$是克罗内克符号，用于表示单位矩阵的元素，即当$i=j$时，$\delta_{ij}=1$，否则该符号表示的数为0
-
$-p\delta_{ij}$代表流体内部，由于静压力p引起的正应力（法向应力），它的作用垂直于流体微元的表面，导致流体受到压缩或膨胀。该压力各向同性。负号表示流体微元受到周围流体的挤压。
-
$\mu$是动力粘度，描述了流体的粘性性质
-
$s_{ij}$是应变速率张量，描述了流体速度场的对称梯度，定义为：
$$
S_{ij}=\frac{\partial U_i}{\partial x_j}
$$$$
s_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)
$$ -
$2\mu s_{ij}$反映了流体层之间，由于相对运动产生的内部摩擦力，它与速度梯度成正比，即流体流动越剧烈，产生的内部摩擦力越大。
-
-
分解应力张量：
$$
s_{ij}=S_{ij}+s_{ij}'
$$其中$S_{ij}$表示平均应变速率，即对应于时间平均流场的变形速率；
$s_{ij}^{'}$表示脉动应变速率，描述湍流中瞬时流场相对于平均流场的变化。
总应力张量$\sigma_{ij}$也被分解为：$$
\sigma_{ij}=\Sigma_{ij}+\sigma_{ij}^{\prime}
$$ -
==雷诺平均N-S方程==：
原N-S方程为：
$$
\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}=-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x_i}+\nu\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+g_i
$$
其中：
- $\frac{\partial u_i}{\partial t}$是局部加速度，表示流体速度在固定空间位置上，随时间的变化率；
- $u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$是对流加速度，表示由于流体在空间中移动，速度随着位置的变化导致的加速度。
- $-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x_i}$是压力梯度力，表示流体受到的力推动其由高压区域流向抵押区域，是流体运动的主要驱动力之一；
- $\nu\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}$（这里$\nu=\frac{\mu}{\rho}$念nu，是动力粘度系数）是粘性扩散项，表示流体内部由于粘性产生摩擦力，抵抗流体的变形和流动，起到能量耗散作用；
- $g_i$表示作用在流体上的外部力，如重力、磁力等。
- 整个方程左侧是加速度，右侧是合力/质量，体现了牛顿第二定律。
推导RANS下的N-S方程：
-
将瞬时变量分解为时间平均值和波动值的和：
$$
u_i=U_i+u_i',~p=P+p'
$$u代表速度，p代表静压。
-
将上述分解代入原方程，得：
$$
\frac{\partial(U_i+u_i')}{\partial t}+(U_j+u_j')\frac{\partial(U_i+u_i')}{\partial x_j}=-\frac1\rho\frac{\partial(P+p')}{\partial x_i}+\nu\frac{\partial^2(U_i+u_i')}{\partial x_j\partial x_j}+g_i
$$ -
分别计算各项的时间平均：
利用以下性质：空间导数与时间平均操作是可以互换的；波动量的时间平均为0；波动量乘积的时间平均不一定为0.
-
左边第一项（非稳项，局部加速度）：
$$
\frac{\partial(U_i+u_i')}{\partial t}=\frac{\partial U_i}{\partial t}
$$ -
左边第二项（对流项）：先展开。
$$
\overline{(U_j+u_j')\frac{\partial(U_i+u_i')}{\partial x_j}}=U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\overline{u_j'\frac{\partial U_i}{\partial x_j}}+U_j\overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}}+\overline{u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}}
$$考虑波动量的时间平均为0，对流项展开后变成：
$$
U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\overline{u_j^\prime\frac{\partial u_i^\prime}{\partial x_j}}
$$关于其中的项$\overline{u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}}$，我们进行如下推导：
-
根据莱布尼茨法则，有：
$$
\frac d{dx}(f(x)g(x))=f(x)\frac{dg}{dx}+g(x)\frac{df}{dx}
$$反向利用一次，我们可以得到：
$$
u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}(u_i'u_j')-u_i'\frac{\partial u_j'}{\partial x_j}
$$ -
考虑不可压缩流动：
利用雷诺分解，已经有：$$
\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=\frac{\partial(U_i+u_i^\prime)}{\partial x_i}=\frac{\partial U_i}{\partial x_i}+\frac{\partial u_i^\prime}{\partial x_i}=0
$$在稳态、不可压缩流动中，平均速度场是无散的：
$$
\frac{\partial U_i}{\partial x_i}=0
$$故：
$$
\frac{\partial u_i^\prime}{\partial x_i}=0
$$$$
u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}(u_i'u_j')
$$ -
在时间平均（或称为统计稳态）条件下，平均值运算和空间导数可以交换。最终可得：
$$
\overline{u_j'\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}}=\frac{\partial}{\partial x_j}\overline{u_i'u_j'}
$$ -
最终的对流项为：
$$
U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\frac{\partial}{\partial x_j}\overline{u_i'u_j'}
$$
-
-
右边第一项（压力梯度项）：
$$
-\frac{1}{\rho}\frac{\overline{\partial(P+p^{\prime})}}{\partial x_{i}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_{i}}
$$ -
右边第二项（粘性扩散项）：
$$
\nu\frac{\overline{\partial^2(U_i+u_i')}}{\partial x_j\partial x_j}=\nu\frac{\partial^2U_i}{\partial x_j\partial x_j}+\nu\overline{\frac{\partial^2u_i'}{\partial x_j\partial x_j}}
$$注意：通常，波动项的粘性扩散相对于湍流对流可以忽略，或在湍流模型中处理。也就是说，该等式右边第二项在这里先忽略不计。
-
-
将上述时间平均后的项组合起来：
$$
\frac{\partial U_i}{\partial t}+U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}=-\frac1\rho\frac{\partial P}{\partial x_i}+\nu\frac{\partial^2U_i}{\partial x_j\partial x_j}-\frac\partial{\partial x_j}\overline{u_i^{\prime}u_j^{\prime}}+g_i
$$ -
引入雷诺应力张量：我们将等式右边的压力梯度项和粘性项统一，综合写成应力张量的散度形式。
定义粘性应力张量为：$$
\tau_{ij}=2\mu S_{ij}
$$其中，应变率张量$S_{ij}$定义为：$S_{ij}=\frac12\left(\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\frac{\partial U_j}{\partial x_i}\right)$
我们将粘性应力对第i个方向的作用，表示为粘性应力张量的散度，并假设$\mu$为常数：$$
\begin{aligned}
\frac{\partial\tau_{ij}}{\partial x_j}&=\frac{\partial}{\partial x_j}(2\mu S_{ij})\
&=\mu\left(\frac{\partial^2U_i}{\partial x_j\partial x_j}+\frac\partial{\partial x_j}\frac{\partial U_j}{\partial x_i}\right)
\end{aligned}
$$由于$\frac{\partial U_j}{\partial x_j}=0$（连续性方程），粘性应力张量的散度简化为：
$$
\frac{\partial\tau_{ij}}{\partial x_j}=\mu\frac{\partial^2U_i}{\partial x_j\partial x_j}
$$ -
定义关于压力和粘性应力的总应力张量为：
$$
\sigma_{ij}=-P\delta_{ij}+\tau_{ij}=-P\delta_{ij}+2\mu S_{ij}
$$$$
\frac1\rho\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j}=\frac1\rho\frac\partial{\partial x_j}(-P\delta_{ij}+2\mu S_{ij})
$$ -
最终得到的时间平均N-S方程为：
$$
\frac{\partial U_i}{\partial t}+U_j\frac{\partial U_i}{\partial x_j}=\frac1\rho\frac\partial{\partial x_j}\left(-P\delta_{ij}+2\mu S_{ij}-\overline{\rho u_i^{\prime}u_j^{\prime}}\right)+g_i
$$
雷诺应力
雷诺应力描述湍流的脉动对平均应力张量的贡献。
脉动即波动。
$$
\tau_{ij}=-\rho\overline{u_i'u_j'}
$$
其中，$\overline{u_i'u_j'}$是脉动速度分量的时间平均的乘积，代表两个方向上速度脉动的协方差。
协方差用于度量两个随机变量之间的线性相关性，这里定义为：
$$
\mathrm{Cov}(u_i',u_j')=\overline{u_i'u_j'}
$$
当协方差为正时，表示当$u_i'$偏离平均值为正时，$u_j'$也倾向于偏正；
当协方差为负时，表示两个脉动分量倾向于朝相反方向，偏离平均值；
当协方差为0时，表示两个脉动分量之间没有线性关联。
将其展开为矩阵形式：
$$
\tau_{ij}=-\rho\begin{bmatrix}\overline{u_1'u_1'}&\overline{u_1'u_2'}&\overline{u_1'u_3'}\\overline{u_2'u_1'}&\overline{u_2'u_2'}&\overline{u_2'u_3'}\\overline{u_3'u_1'}&\overline{u_3'u_2'}&\overline{u_3'u_3'}\end{bmatrix}
$$
其中，主对角线上的项表示沿各个方向的湍流动能（即脉动速度的方差），反映了湍流强度在相应方向上的大小；
非主对角线上的项表示不同方向上，脉动速度间的关联（或协方差），描述湍流中不同方向之间的相互耦合和动量交换。
对于笛卡尔坐标系（用u，v，w表示x，y，z方向上的流体速度），雷诺应力的矩阵形式可转化为：
$$
\tau_{ij}=-\rho\begin{bmatrix}\overline{u^{\prime2}}&\overline{u^{\prime}v^{\prime}}&\overline{u^{\prime}w^{\prime}}\\overline{v^{\prime}u^{\prime}}&\overline{v^{\prime2}}&\overline{v^{\prime}w^{\prime}}\\overline{w^{\prime}u^{\prime}}&\overline{w^{\prime}v^{\prime}}&\overline{w^{\prime2}}\end{bmatrix}
$$
几个重要问题：
-
从物理角度，雷诺应力反映了湍流中通过脉动速度所引起的动量通量，其中：
- 主对角线上的项描述了湍流如何在流动的主方向上增加流体的能量；
- 非主对角线上的项描述湍流如何在不同方向上互相影响，这些项直接影响了湍流的旋转和剪切特性。
-
为什么雷诺应力会有负号：
它表示湍流的脉动对平均流动的减速作用，由于在湍流中，脉动脉动引起的动量传递，会对平均速度场施加额外的阻力。 -
湍流封闭问题（closure problem）：
引入雷诺应力项使得RANS方程组不能直接求解，因为$\overline{u_i'u_j'}$是新的未知量，此时方程的未知量多于方程数量。
为了求解RANS方程，需要借助湍流模型近似这些应力。
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