进制三：进制的运算

前言

今天讲进制的运算，其实就是数字的加、减、乘、除，感觉上我们都会算，但是我们可能没有想过自己为什么会算。下面记录下进制运算的本质，并以八进制为例，说明一下进制的运算。

运算的本质

为什么我们会算 1 + 1=2、1 * 1=1?因为在我们脑子里存在着一张张的表，加法表和乘法表，我们在小学的时候就背得滚瓜烂熟，当我们需要进行十进制的运算时，我们就快速找表：在加法表中找 1 + 1，在乘法表中找 1 * 1，找到结果就返回给大脑，这时我们就知道 1 + 1=2、1 * 1=1。
所以运算的本质就是**查表**。
下面就以八进制为例，用**查表**的方式，进行进制的运算。

八进制表

首先要构造一张该进制的表，我这里用八进制。
制作这张表时，从 0 到 7，逢八进一，具体表格如下图：

八进制加法表的制作

根据上面的八进制表，我们可以制作如下的八进制加法表，

制表简单说明：

1. 1+1 项中，在八进制表中找到 1 这一项，然后往后数一位，是 2，所以 1+1=2。
   如下图：
   
2. 1+2 项中，在八进制表中找到 1 这一项，然后往后数 2 位，是 3，所以 1+2=3。
   如下图：
   
3. 4+4 项中，在八进制表中找到 4 这一项，然后往后数 4 位，是 10，所以 4+4=10。
   如下图：
   
4. 6+5 项中，在八进制表中找到 6 这一项，然后往后数 5 位，是 13，所以 6+5=13.
   如下图：
   
   其他的项类似，从八进制表中查，就可以把八进制加法表填好。

八进制乘法表的制作

根据上面得到的八进制加法表和八进制表，就可以把八进制乘法表填好。八进制乘法表如下

制表的简单说明：

1. 1 * 1，其实就是 1 个 1，结果是 1，所以 1 * 1=1。
2. 1 * 2，其实就是 2 个 1，2 个 1 就是 1+1，查看加法表，是 2，所以 1 * 2=2。
3. 1 * 3，其实就是 3 个 1，3 个 1 就是 1+1+1，先算前面的 1+1，查看加法表得到 1+1=2；然后算后面的 +1，2+1，查看加法表，得到 3，所以 1+1+1=3，即 1 * 3=3。
4. 4 * 7，其实就是 7 个 4（当然也可以是 4 个 7），7 个 4 就是 4+4+4+4+4+4+4，先算前面的 4+4，查看加法表，得到 4+4=10；
   然后算 10+4+4+4+4+4，先算 10+4，这次查八进制表，先找到 10 项，往后数 4 位，是 14，所以 10+4=14；
   然后算 14+4+4+4+4，先算前面的 14+4，查看八进制表，得到 14+4=20；
   然后算 20+4+4+4，先算前面的 20+4，查看八进制表，得到 20+4=24；
   然后算 24+4+4，先算前面的 24+4，查看八进制表，得到 24+4=30；
   然后算 30+4，查看八进制表得到 30+4=34。所以最终的结果是 34，即 4 * 7 = 34。

其他的项类似，虽然看起来很傻，但这就是本质的东西。

八进制的加法

有了八进制加法表，就可以进行更多位数的加法运算了。下面举例说明 277+333，如何通过查表，把结果查出来的。
步骤如下：

1. 从低位（最右边）算起，7+3，查八进制加法表，得到 7+3=12，由于只能有一位数字，所以只能填 2，在旁边标记一下有进位
   如图

2. 继续算下一位，7+3，继续查八进制加法表，得到 7+3=12，由于前面有一个进制，所以 12 要往后一位，查八进制表，得到 12 的下一位是 13。由于只能有一位数字，所以只能填 3，在旁边标记一下有进位。
如图：

3. 继续算下一位，2+3，继续查八进制加法表，得到 2+3=5，由于前面有一个进制，所以 5 要往后一位，查八进制表，得到 5 的下一位是 6，所以填 6.
如图：

通过上面的步骤，我们确实可以通过查表把 277+333 的结果查出来，是 632。

八进制的减法

我们也可以通过查表，实现八进制的减法运算。
下面的步骤是实现 236-54

1. 从低位（最右边）算起，是 6-4，虽然没有减法表，但是加法表就可以实现减法，我去查八进制加法表中？+4=6，查到是 2+4=6，所以，6-4=2
   如图：

2. 继续算下一位，3-5，发现不够减，要向前一位借位，因为是八进制，所以借来的 1 是 10（十进制是八），10+3，查八进制表，10 往后数 3 位，是 13，所以 10+3=13。
算 13-5， 查八进制加法表，？+5=13，查到是 6+5=13，所以 13-5=6。
如图：

3. 继续算下一位，2-0，由于刚才被借了一位，所以 2 要回退一位，继续查八进制加法表，2 的前一位是 1，所以最后的结果是 1。
如图：

八进制的乘法

下面是讲通过查表实现多位八进制的乘法运算，例子：276 * 54
实现步骤：

1. 先算 276 * 4：6 * 4，查八进制乘法表，得到 6 * 4=30，下面写 0，进 3 位；
   再算 7 * 4，查八进制乘法表，得到 7 * 4=34，因为刚才有进了 3 位，所以查八进制表，34 往后数 3 位，是 37，所以下面写 7，进 3 位；
   最后算 2 * 4，查八进制乘法表，得到 2 * 4=10，因为刚才进了 3 位，所以查八进制表，10 后面数 3 位是，13，前面没有数字了，所以直接再下面写 13。最后得到 276 * 4 =1370
   如图：

2. 接着算 276 * 5：6 * 5，查八进制乘法表，得到 6 * 5=36，下面写 6，进 3 位；
再算 7 * 5，查八进制乘法表，得到 7 * 5=43，加上刚才进位的 3，查八进制表，43 往后数 3 位是 46，所以下面写 6，进 4 位；
最后算 2 * 5，查八进制乘法表，得到 2 * 5=12，加上刚才进位的 4，查八进制表，12 往后数 4 位，得到 16，因为前面没有数字了，所以直接在下面写 16。最后得到 276 * 5=1666。
如图：

3. 由步骤 1、2 得到的结果，进行加法运算，求出最终的结果。从步骤 2 的结果图中可以看到位置是错开的，所以我们实际算的是 1370+16660。用上面八进制加法运算的方法（也是查表），可以得到结果 1370+16660=20250
如图：

八进制的除法

最后讲如何通过查表实现八进制除法的运算。下面是实现 234/4 的步骤。

1. 除法从最高位（最左边）算起，2/4，发现不够除，扩展一位，变成 23/4，够除。
   然后查八进制乘法表，看？ * 4=23，发现没有，但是发现 4 * 4=20，5 * 4=24，所以取 4，下面写 20，
   然后算 23-20，也是用上面八进制减法的方法，求得结果 3，写在下面
   如图：

2. 把 4 放下来，就变成了 34/4，够除，
查八进制乘法表，找？ * 4=34，找到 7 * 4=34，所以取 7。最终结果是 47
如图：

——大程序员
2018-12-24 18：35