Lambda 表达式对递归的优化 (上) - 使用尾递归

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递归优化
很多算法都依赖于递归,典型的比如分治法(Divide-and-Conquer)。但是普通的递归算法在处理规模较大的问题时,常常会出现 StackOverflowError。处理这个问题,我们可以使用一种叫做尾调用(Tail-Call Optimization)的技术来对递归进行优化。同时,还可以通过暂存子问题的结果来避免对子问题的重复求解,这个优化方法叫做备忘录(Memoization)。

本文首先对尾递归进行介绍,下一票文章中会对备忘录模式进行介绍。

使用尾调用优化
当递归算法应用于大规模的问题时,容易出现 StackOverflowError,这是因为需要求解的子问题过多,递归嵌套层次过深。这时,可以采用尾调用优化来避免这一问题。该技术之所以被称为尾调用,是因为在一个递归方法中,最后一个语句才是递归调用。这一点和常规的递归方法不同,常规的递归通常发生在方法的中部,在递归结束返回了结果后,往往还会对该结果进行某种处理。

Java 在编译器级别并不支持尾递归技术。但是我们可以借助 Lambda 表达式来实现它。下面我们会通过在阶乘算法中应用这一技术来实现递归的优化。以下代码是没有优化过的阶乘递归算法:

public class Factorial {
public static int factorialRec(final int number) {
if(number == 1)
return number;
else
return number * factorialRec(number - 1);
}
}
以上的递归算法在处理小规模的输入时,还能够正常求解,但是输入大规模的输入后就很有可能抛出 StackOverflowError:

try {
System.out.println(factorialRec(20000));
} catch(StackOverflowError ex) {
System.out.println(ex);
}

// java.lang.StackOverflowError
出现这个问题的原因不在于递归本身,而在于在等待递归调用结束的同时,还需要保存了一个 number 变量。因为递归方法的最后一个操作是乘法操作,当求解一个子问题时(factorialRec(number - 1)),需要保存当前的 number 值。所以随着问题规模的增加,子问题的数量也随之增多,每个子问题对应着调用栈的一层,当调用栈的规模大于 JVM 设置的阈值时,就发生了 StackOverflowError。

转换成尾递归
转换成尾递归的关键,就是要保证对自身的递归调用是最后一个操作。不能像上面的递归方法那样:最后一个操作是乘法操作。而为了避免这一点,我们可以先进行乘法操作,将结果作为一个参数传入到递归方法中。但是仅仅这样仍然是不够的,因为每次发生递归调用时还是会在调用栈中创建一个栈帧(Stack Frame)。随着递归调用深度的增加,栈帧的数量也随之增加,最终导致 StackOverflowError。可以通过将递归调用延迟化来避免栈帧的创建,以下代码是一个原型实现:

public static TailCall factorialTailRec(
final int factorial, final int number) {
if (number == 1)
return TailCalls.done(factorial);
else
return TailCalls.call(() -> factorialTailRec(factorial * number, number - 1));
}
需要接受的参数 factorial 是初始值,而 number 是需要计算阶乘的值。 我们可以发现,递归调用体现在了 call 方法接受的 Lambda 表达式中。以上代码中的 TailCall 接口和 TailCalls 工具类目前还没有实现。

创建 TailCall 函数接口
TailCall 的目标是为了替代传统递归中的栈帧,通过 Lambda 表达式来表示多个连续的递归调用。所以我们需要通过当前的递归操作得到下一个递归操作,这一点有些类似 UnaryOperator 函数接口的 apply 方法。同时,我们还需要方法来完成这几个任务:

判断递归是否结束了
得到最后的结果
触发递归
因此,我们可以这样设计 TailCall 函数接口:

@FunctionalInterface
public interface TailCall {
TailCall apply();
default boolean isComplete() { return false; }
default T result() { throw new Error("not implemented"); }
default T invoke() {
return Stream.iterate(this, TailCall::apply)
.filter(TailCall::isComplete)
.findFirst()
.get()
.result();
}
}
isComplete,result 和 invoke 方法分别完成了上述提到的 3 个任务。只不过具体的 isComplete 和 result 还需要根据递归操作的性质进行覆盖,比如对于递归的中间步骤,isComplete 方法可以返回 false,然而对于递归的最后一个步骤则需要返回 true。对于 result 方法,递归的中间步骤可以抛出异常,而递归的最终步骤则需要给出结果。

invoke 方法则是最重要的一个方法,它会将所有的递归操作通过 apply 方法串联起来,通过没有栈帧的尾调用得到最后的结果。串联的方式利用了 Stream 类型提供的 iterate 方法,它本质上是一个无穷列表,这也从某种程度上符合了递归调用的特点,因为递归调用发生的数量虽然是有限的,但是这个数量也可以是未知的。而给这个无穷列表画上终止符的操作就是 filter 和 findFirst 方法。因为在所有的递归调用中,只有最后一个递归调用会在 isComplete 中返回 true,当它被调用时,也就意味着整个递归调用链的结束。最后,通过 findFirst 来返回这个值。

如果不熟悉 Stream 的 iterate 方法,可以参考上一篇文章,在其中对该方法的使用进行了介绍。

创建 TailCalls 工具类
在原型设计中,会调用 TailCalls 工具类的 call 和 done 方法:

call 方法用来得到当前递归的下一个递归
done 方法用来结束一系列的递归操作,得到最终的结果
public class TailCalls {
public static TailCall call(final TailCall nextCall) {
return nextCall;
}
public static TailCall done(final T value) {
return new TailCall() {
@Override public boolean isComplete() { return true; }
@Override public T result() { return value; }
@Override public TailCall apply() {
throw new Error("end of recursion");
}
};
}
}
在 done 方法中,我们返回了一个特殊的 TailCall 实例,用来代表最终的结果。注意到它的 apply 方法被实现成被调用抛出异常,因为对于最终的递归结果,是没有后续的递归操作的。

以上的 TailCall 和 TailCalls 虽然是为了解决阶乘这一简单的递归算法而设计的,但是它们无疑在任何需要尾递归的算法中都能够派上用场。

使用尾递归函数
使用它们来解决阶乘问题的代码很简单:

System.out.println(factorialTailRec(1, 5).invoke()); // 120
System.out.println(factorialTailRec(1, 20000).invoke()); // 0
第一个参数代表的是初始值,第二个参数代表的是需要计算阶乘的值。

但是在计算 20000 的阶乘时得到了错误的结果,这是因为整型数据无法容纳这么大的结果,发生了溢出。对于这种情况,可以使用 BigInteger 来代替 Integer 类型。

实际上 factorialTailRec 的第一个参数是没有必要的,在一般情况下初始值都应该是 1。所以我们可以做出相应地简化:

public static int factorial(final int number) {
return factorialTailRec(1, number).invoke();
}

// 调用方式
System.out.println(factorial(5));
System.out.println(factorial(20000));
使用 BigInteger 代替 Integer
主要就是需要定义 decrement 和 multiple 方法来帮助完成大整型数据的阶乘操作:

public class BigFactorial {
public static BigInteger decrement(final BigInteger number) {
return number.subtract(BigInteger.ONE);
}

public static BigInteger multiply(
    final BigInteger first, final BigInteger second) {
    return first.multiply(second);
}

final static BigInteger ONE = BigInteger.ONE;
final static BigInteger FIVE = new BigInteger("5");
final static BigInteger TWENTYK = new BigInteger("20000");
//...

private static TailCall<BigInteger> factorialTailRec(
    final BigInteger factorial, final BigInteger number) {
    if(number.equals(BigInteger.ONE))
        return done(factorial);
    else
        return call(() ->
            factorialTailRec(multiply(factorial, number), decrement(number)));
}

public static BigInteger factorial(final BigInteger number) {
    return factorialTailRec(BigInteger.ONE, number).invoke();
}

}

  • Java

    Java 是一种可以撰写跨平台应用软件的面向对象的程序设计语言,是由 Sun Microsystems 公司于 1995 年 5 月推出的。Java 技术具有卓越的通用性、高效性、平台移植性和安全性。

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