中和滴定曲线的数学表达式

本贴最后更新于 653 天前,其中的信息可能已经水流花落

给一个相对漂亮的解释,但它的缺陷是为了对称而对称,完全忽略了稀释现象的存在。不过稀释现象后面还是能考虑到的,且听解释。

考察质子传递反应

\begin{aligned}\ce{H3O+ & <=> H+ + H2O\\H2O& <=> H+ + OH-}\end{aligned}\\

设第一个反应进行的量为 -x ,第二个反应进行的量为 y 。那么我们知道,这些反应所涉及到的物质,它们的量分别为

\ce{H+} \ce{H3O+} \ce{H2O} \ce{OH-}
无反应 h_0 0 s_0 0
平衡后 h_0-x+y x s_0-x-y y

其中 ℎ_0 为完全不考虑这两个反应时的质子的量,也就是所谓的投料的量,可以视作强酸的量和强碱的量的加权和。对碱溶液当然这会是一个负值。 s_0 则是完全不考虑这两个反应时的溶剂的量。

然后直接代入两个共轭酸碱对的平衡表达式,即

\ce{\frac{[H+][H2O]}{[H3O+]}}=K_{a_1}, \ce{\frac{[H+][OH-]}{[H2O]}}=K_{a_2}\\

但是水是溶剂,水溶液里的酸电离常数是以水为溶剂测定的,也就是规定了 \ce{[H2O]}\equiv1

因此直接把下列代码敲进 Mathematica 中,得到结果。

Solve[{h1==h0-x+y,s1==1,h1*s1==ka1*x,h1*y==ka2*s1},{h1,s1,x,y,kw}]

结果很长,其中一个恒正的结果是

h_1=\frac{h_0K_{a_1}+\sqrt{K_{a_1}}\sqrt{h_0^2K_{a_1}+4K_{a_2}+4K_{a_1}K_{a_2}}}{2(1+K_{a_1})}\\ x = \frac{h_0K_{a_1}+\sqrt{K_{a_1}}\sqrt{h_0^2K_{a_1}+4K_{a_2}+4K_{a_1}K_{a_2}}}{2K_{a_1}(1+K_{a_1})}\\

作图大概是这样的。

image.png

这个是对 pH=-lg(h1)的作图。

image.png

其实是对 pH3O=-lg(x)的作图。代入的 pKa1=1.7, pKa2=15.7。

它看起来有点像对称的表达式,但不明显。事实上,看到这种形如 y=\ln(x+\sqrt{x^2+a}) 型的函数,就要想到它是不是一个反双曲正弦型函数。直接的变换不太好做,那么还可以从头再来,从前面的方程组中,以 h_1x为参数算出h_0!这个其实非常好算,结果是:

h_0=\frac{h_1^2+h_1^2K_{a_1}-K_{a_1}K_{a_2}}{h_1K_{a_1}} = (1+K_{a_1}^{-1})h_1-K_{a_2}h_1^{-1}\\ h_0=\frac{-K_{a_2} + K_{a_1} x^2 + K_{a_1}^2 x^2}{K_{a_1} x}=(1+K_{a_1})x-(K_{a_2}/K_{a_1})x^{-1}\\

注意到 h_1=0.1^\mathrm{pH}, x=0.1^\mathrm{pH_3O} ,而 1+0.1^{1.7}\approx0.1^0,\quad0.1^{15.7}/0.1^{1.7}=0.1^{14} ,使得

h_0=0.1^{\mathrm{pH_3O}-0}+0.1^{-\mathrm{pH_3O}+14}\\

这样就更容易看出它双曲正弦型函数的本质,而且它的两个重要拐点就在 \mathrm{pH_3O}=0,14 两处。

这里是酸碱质子理论的推导结果。实际上我们更应该认为传统意义上的水溶液中的所谓 pH 就是 \mathrm{pH_3O} ,而且这是符合溶剂酸碱理论的结论。这也是大多数 pH 计不能在非水溶剂中或者 pH 强烈偏离 7 的环境中工作的原因吧。


实际的中和曲线要同时考虑酸碱反应和稀释这两个要素。这样以后,设函数

p(x)=-\lg\frac{x+\sqrt{x^2+4(K_{a_2}/K_{a_1})(1+K_{a_1})}}{2(1+K_{a_1})}\\

然后,浓度为 c_0 ,体积为 V_0\ce{NaOH} 溶液中滴入浓度为 c 的 HCl 溶液的体积为 V 时,溶液的 pH(实为 \mathrm{pH_3O})为

p\left(\frac{-c_0V_0+cV}{V_0+V}\right)\\

-c_0V_0+cV当然指的是酸碱反应;但自变量要用类似于 \frac{V}{V_0+V} 的要素处理,这就是稀释效应。

image.png

向 1 L 0.1 mol/L NaOH 溶液中逐滴加入 0.1 mol/L HCl 溶液,共加入 2 L。

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