中和滴定曲线的数学表达式

给一个相对漂亮的解释，但它的缺陷是为了对称而对称，完全忽略了稀释现象的存在。不过稀释现象后面还是能考虑到的，且听解释。

考察质子传递反应

设第一个反应进行的量为 -x ，第二个反应进行的量为 y 。那么我们知道，这些反应所涉及到的物质，它们的量分别为

其中 ℎ_0 为完全不考虑这两个反应时的质子的量，也就是所谓的投料的量，可以视作强酸的量和强碱的量的加权和。对碱溶液当然这会是一个负值。 s_0 则是完全不考虑这两个反应时的溶剂的量。

然后直接代入两个共轭酸碱对的平衡表达式，即

但是水是溶剂，水溶液里的酸电离常数是以水为溶剂测定的，也就是规定了 \ce{[H2O]}\equiv1。

因此直接把下列代码敲进 Mathematica 中，得到结果。

Solve[{h1==h0-x+y,s1==1,h1*s1==ka1*x,h1*y==ka2*s1},{h1,s1,x,y,kw}]

结果很长，其中一个恒正的结果是

作图大概是这样的。

这个是对 pH=-lg(h1)的作图。

其实是对 pH3O=-lg(x)的作图。代入的 pKa1=1.7, pKa2=15.7。

它看起来有点像对称的表达式，但不明显。事实上，看到这种形如 y=\ln(x+\sqrt{x^2+a}) 型的函数，就要想到它是不是一个反双曲正弦型函数。直接的变换不太好做，那么还可以从头再来，从前面的方程组中，以 h_1或x为参数算出h_0！这个其实非常好算，结果是：

注意到 h_1=0.1^\mathrm{pH}, x=0.1^\mathrm{pH_3O} ，而 1+0.1^{1.7}\approx0.1^0,\quad0.1^{15.7}/0.1^{1.7}=0.1^{14} ，使得

这样就更容易看出它双曲正弦型函数的本质，而且它的两个重要拐点就在 \mathrm{pH_3O}=0,14 两处。

这里是酸碱质子理论的推导结果。实际上我们更应该认为传统意义上的水溶液中的所谓 pH 就是 \mathrm{pH_3O} ，而且这是符合溶剂酸碱理论的结论。这也是大多数 pH 计不能在非水溶剂中或者 pH 强烈偏离 7 的环境中工作的原因吧。

实际的中和曲线要同时考虑酸碱反应和稀释这两个要素。这样以后，设函数

然后，浓度为 c_0 ，体积为 V_0 的 \ce{NaOH} 溶液中滴入浓度为 c 的 HCl 溶液的体积为 V 时，溶液的 pH（实为 \mathrm{pH_3O}）为

-c_0V_0+cV当然指的是酸碱反应；但自变量要用类似于 \frac{V}{V_0+V} 的要素处理，这就是稀释效应。

向 1 L 0.1 mol/L NaOH 溶液中逐滴加入 0.1 mol/L HCl 溶液，共加入 2 L。