椭圆为什么存在焦点和准线？

【命题】设平面直角坐标系内存在一单位圆。进行坐标变换 $\{\begin{array}{l}x\mapsto ax\\ y\mapsto by\end{array}$ 后，圆被拉伸成椭圆。求证：存在点-直线对，使得该椭圆周上各点与该定点的距离及该直线的距离的比值为定值。

【证明】

单位圆的方程为 $x^2+y^2=1$ ，经过坐标变换后，使用还原思想直接判断出椭圆的方程是

假设定点和定直线存在。分别设为 $F(x_0,y_0)$ 和 $l:Ax+By+C=0$ （其中 $A^2+B^2=1$）。

设椭圆周上一点为 $(x,y)$，其和点 $F$ 的距离为 $\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$ ，而和直线 $l$l 的距离是 $|Ax+By+C|$。设到点距离和到直线距离的比值为正数 $e$ ，叫做离心率。因为都涉及根号，所以直接平方得到

我们要使它为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 条件下的恒等式，则可以再引入一个乘子 $\lambda$，使得多项式

恒为零。为此我们需要展开这个多项式，然后提取关于 $x,y$ 各项的系数。因为计算量较大，这一步交给计算机进行。展开的结果是

首先， $xy$ 项系数 $-2AB{e}^2=0$。考虑到不希望看到 $e=0$ 的退化情况，所以这一定意味着 $A=0$ 或者 $B=0$ ，也就是准线一定垂直于椭圆的某条轴。

把 $x^2$ 项的系数 $1-A^2{e}^2+\frac{\lambda }{a^2}=0$ 和 $y^2$ 项的系数 $1-B^2{e}^2+\frac{\lambda }{b^2}=0$ 联立消去乘子 $\lambda$ ，得到

这个关于 $e$ 的方程不一定有解。分类讨论。

① $a>b$。

该方程左边为正。为使右边为正，必须 $B=0$ ，从而 $A=1$ 。也就是准线垂直于长轴。此时

而且 $\lambda =-b^2$。

② $a<b$。

该方程左边为负。为使右边为负，必须 $A=0$ ，从而 $B=1$ 。也就是准线垂直于长轴。（注意 $b>a$ ）此时

而且 $\lambda =-a^2$。

③ $a=b$。此时 $e=0$ 。这本来就是圆，离心率等于 0。

其实分类讨论要继续持续到底的。但是因为结构上是如此的对称，所以我们不妨设 $a>b$ 并把 ① 的证明过程接续下去。而把 ② 的证明接续下去的证法留做习题。

我们已经从三个二次项中回收了之前引入的乘子，并且破解了准线的方向和离心率的表达式，接下来就是确定焦点的位置和准线通过的点。

从 $y$ 项的系数 $-2BC{e}^2-2y_0=0$ 中立刻得到 $y_0=0$ 。也就是说焦点在长轴所在直线上。

从 $x$ 项的系数 $-2AC{e}^2-2x_0=0$ 中得到 $x_0=-C{e}^2$ 。值得注意的是，准线与长轴所在直线的交点恰恰是 $(-C,0)$ 。

从常数项 $x_0^2+y_0^2-C^2{e}^2-\lambda =0$ ，代入之前各项即可求得值。事实上，代入 $B=0,y_0=0$ ，式子就化简为 $x_0^2-\frac{\lambda }{A^2}-(\frac{C}{A}e{)}^2=0$ ，再代入 $A=1,\lambda =-b^2$ ，式子就化简为 $x_0^2+b^2=(Ce{)}^2$ ，再代入 $x_0=-C{e}^2$ 和 $e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}$ ，解得

因此，一个椭圆存在两对焦点-准线，使得椭圆周各点到焦点距离和到准线的距离等于定值。

称 $a$ 为半长轴， $b$ 为半短轴， $c=\sqrt{a^2-b^2}$ 为半焦距， $(\pm a,0),(0,\pm b)$ 为椭圆的四个端点，那么椭圆的焦点为 $(\pm c,0)$，对应的准线为 $x\mp \frac{a^2}{c}=0$ 。