椭圆为什么存在焦点和准线？

【命题】设平面直角坐标系内存在一单位圆。进行坐标变换 \begin{cases}x\mapsto ax\\y\mapsto by\end{cases} 后，圆被拉伸成椭圆。求证：存在点-直线对，使得该椭圆周上各点与该定点的距离及该直线的距离的比值为定值。

【证明】

单位圆的方程为 x^2+y^2=1 ，经过坐标变换后，使用还原思想直接判断出椭圆的方程是

假设定点和定直线存在。分别设为 F(x_0,y_0) 和 l:Ax+By+C=0 （其中 A^2+B^2=1）。

设椭圆周上一点为 (x,y)，其和点 F 的距离为 \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} ，而和直线 ll 的距离是 |Ax+By+C|。设到点距离和到直线距离的比值为正数 e ，叫做离心率。因为都涉及根号，所以直接平方得到

我们要使它为 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 条件下的恒等式，则可以再引入一个乘子 \lambda，使得多项式

恒为零。为此我们需要展开这个多项式，然后提取关于 x,y 各项的系数。因为计算量较大，这一步交给计算机进行。展开的结果是

首先， xy 项系数 -2ABe^2=0。考虑到不希望看到 e=0 的退化情况，所以这一定意味着 A=0 或者 B=0 ，也就是准线一定垂直于椭圆的某条轴。

把 x^2 项的系数 1-A^2 e^2+\frac{\lambda }{a^2}= 0 和 y^2 项的系数 1-B^2 e^2+\frac{\lambda}{b^2}=0 联立消去乘子 \lambda ，得到

这个关于 e 的方程不一定有解。分类讨论。

① a>b。

该方程左边为正。为使右边为正，必须 B=0 ，从而 A=1 。也就是准线垂直于长轴。此时

而且 \lambda=-b^2。

② a<b。

该方程左边为负。为使右边为负，必须 A=0 ，从而 B=1 。也就是准线垂直于长轴。（注意 b>a ）此时

而且 \lambda=-a^2。

③ a=b。此时 e=0 。这本来就是圆，离心率等于 0。

其实分类讨论要继续持续到底的。但是因为结构上是如此的对称，所以我们不妨设 a>b 并把 ① 的证明过程接续下去。而把 ② 的证明接续下去的证法留做习题。

我们已经从三个二次项中回收了之前引入的乘子，并且破解了准线的方向和离心率的表达式，接下来就是确定焦点的位置和准线通过的点。

从 y 项的系数 -2 B C e^2 - 2 y_0=0 中立刻得到 y_0=0 。也就是说焦点在长轴所在直线上。

从 x 项的系数 -2 A C e^2 - 2 x_0=0 中得到 x_0=-Ce^2 。值得注意的是，准线与长轴所在直线的交点恰恰是 (-C,0) 。

从常数项 x_0^2 +y_0^2 -C^2 e^2-\lambda=0 ，代入之前各项即可求得值。事实上，代入 B=0, y_0=0 ，式子就化简为 x_0^2-\frac{\lambda}{A^2}-(\frac{C}{A}e)^2=0 ，再代入 A=1, \lambda=-b^2 ，式子就化简为 x_0^2+b^2=(Ce)^2 ，再代入 x_0=-Ce^2 和 e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2} ，解得

因此，一个椭圆存在两对焦点-准线，使得椭圆周各点到焦点距离和到准线的距离等于定值。

称 a 为半长轴， b 为半短轴， c=\sqrt{a^2-b^2} 为半焦距， (\pm a,0),(0,\pm b) 为椭圆的四个端点，那么椭圆的焦点为 (\pm c,0)，对应的准线为 x\mp\frac{a^2}c=0 。